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本文主要用几何分析方法，包括变分法，PDE等讨论图像去躁，图像分解和图像分割等问题。首先把所要处理的问题转化为能量泛函极小化问题，建立变分模型，并讨论能量极小化问题解的存在唯一性：其次是导出Euler-Lagrange方程；然后利用负梯度下降法得到相应的热流方程，并探讨此热流方程解的存在性，唯一性，稳定性，渐近行为等：最后求此方程的数值解，得到实验结果。本文的主要研究成果有以下几个方面：1．六种典型的变分去噪模型的统一研究在统一的框架下，我们研究了六种变分去噪模型，包括加性噪声模型：ROF模型，TV-L1模型，和乘性噪声模型：RLO模型，LCA模型，AA模型，RLO-L1模型。首先采用正则化的办法得到了能量极小解的存在性。并讨论了唯一性存在的条件；其次用次微分理论和BV函数理论，导出Euler-Lagrange方程；最后讨论负梯度下降法得到的热流方程解的性质，分别采用了两种办法。一种是依据数值计算模式，通过讨论离散的热流方程得到一些估计，然后利用这些估计得到连续形式热流方程解的存在性结论。另一种方法是根据拟线性抛物方程的理论，直接研究热流方程解的存在性。同时还讨论了热流方程解的唯一性，稳定性和渐近行为等问题。2．ROF模型的一些改进ROF模型虽然非常成功，但有导致“块状”效应的缺点。针对此问题，通过分析形成此现象的原理，我们设计了三种改进办法。分别是：第一，引入变指数的函数空间作为基本空间：第二，把高斯扩散模型和ROF模型有机地结合起来，取长补短；第三，引入四阶方程，用高阶方程的光滑效果来抑制“块状”效应。对第一种改进方法，我们进行了全面的研究，研究所在的空间是变指数的Sobolev空间。ROF模型同时也可以看成分解模型，可以把图像分解成两个部分：卡通和噪声。对于纹理图像，基于纹理的多样性和复杂性，本文提出了新的分解模型，把图像分成三个部分：卡通部分，H-1型纹理和L2型纹理三部分。可以在一定程度上区分不同类型的纹理。3．活动轮廓分割模型的改进通过分析GAC模型，CV模型各项的功能，我们提出了新的模型。包括改进的GAC模型与改进的活动轮廓模型。改进后的模型具有更加简洁的形式，可以处理一些GAC模型和CV模型不能分割的情形，并且改进后的模型在理论上成为标准的抛物型方程，解的性质根据标准理论可以得到，而对GAC，CV模型的理论探讨则需要用到粘性解理论，十分复杂。对纹理图像，我们给出了相对现有文献比较简单的分割方法。针对纹理图像的特点，用扩散张量来提取图像中的纹理特征，然后依据此特征进行分割。根据此特征，还可以构造纹理检测函数。4．去噪和分割的结合在一些情况下，去噪和分割是可以同时完成的，在另一些情况下，也可以把去噪作为分割之前的预处理过程，以去除噪声的干扰。基于Ginzburg-Landau方程和带权ROF模型的启发，我们提出了新的变分模型，可以同时得到去噪和分割结果。由于这种分割是基于扩散的，所以比活动轮廓分割模型也有一些优越性，比如可以检测到非闭曲线以及四叉点。SAR图像由于总是受到较大Speckle噪声污染，若直接用活动轮廓模型进行分割，则十分困难。本文利用乘性噪声模型-RLO-L1模型作去噪预处理，然后进行分割。这时分割具有高效，准确，稳定的特点。