本文围绕计算机辅助几何设计(Computer Aided Geometric Design,简称CAGD)中细分和拟合的造型方法进行了深入的研究,主要获得了以下一些成果:首先,从理论上证明了B样条曲线的升阶是割角过程,并指出了割角过程中辅助控制顶点的几何意义.给定一条B样条曲线,我们在每一步只增加一个节点的重数,相应地也只升高一个节点区间内的阶数.这样每一个步骤中老基函数最多用2个新基函数来表示,从而新控制顶点最多只用2个老控制顶点来表示,也就是说新控制多边形是由老控制多边形割角得到的.这样依次增加每个节点的重数,当所有节点区间上的阶数都升高时,我们用割角过程得到了升阶曲线的控制顶点.为了在每一步只升高一个节点区间的次数,我们引入了双次B样条基函数的概念,并利用双次B样条基函数之间的变换公式证明了B样条曲线的升阶是割角过程.而割角过程中出现的辅助控制顶点则是由双次B样条基函数所定义的双次B样条曲线的控制顶点.其次,提出了一种把平面光滑曲线转换为B样条曲线的局部算法.我们的局部算法有三个主要步骤:首先从待转换的曲线上采样足够多的点及其切向,然后用G~1连续的Bézier样条去拟合采样数据,最后再把G~1连续的Bézier样条拼接为C~2B样条曲线.由于在第二步拟合与第三步拼接中都符合了保形及误差要求,所以最后的拟合曲线也达到了保形及误差要求.而且,由于我们每次用固定端点及端点切向的Bézier曲线拟合点列时根据数据点的局部特性自适应确定节点及控制顶点,所以所得拟合曲线的控制顶点数要少于传统的最小二乘法等拟合方法.数值算例表明我们的局部算法在保形及减少数据量等方面均优于传统的最小二乘法.再次,提出了曲线插值的内心细分法.内心细分法因为每边对应的新点是由边、边两端顶点切线所围成的三角形的内心而得名.它有两个主要步骤:加入新点,调整切向.给定一个初始点列及其切向,用内心细分法得到的极限曲线曲率连续且保形.给定两点两切向,配以基于相邻五点的切向调整方法,内心细分法可以得到插值两点两切向的螺线.用内心细分法还可以在极限曲线中光滑地插入直线段.另外,内心细分法还具有还圆性的特点,即如果所有的初始点及其切向均取自同一圆弧段,则极限曲线就是该圆弧段.我们对极限曲线的收敛性与连续性给出了严格的证明,并用数值算例验证了内心细分方法.最后,提出了一种用逼近型细分算法插值网格的方法.利用逼近型细分方法顶点对应的极限点公式,我们给出了一种极其简单高效的插值方法.我们以Loop细分方法为例给出了新边点及新顶点的显式表达式.新方法的优点有:(1)局部性:改变一个点的位置时,只影响其附近插值曲面的形状.(2)计算简单:新点直接由显式公式给出,不用解线性方程组.(3)易于实现:只改变第一步细分规则中的几何规则,其它步骤不做任何修改.(4)适用广:几乎适用于任何逼近型细分方法,对逼近型细分方法的唯一要求是:顶点处对应的极限点公式显式给出.(5)自由度多:有足够的自由度调节插值曲面的形状.