【摘 要】
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设M ∈ 是一个扩张矩阵,D(?)Zn是一个基数为|D|的有限数字集.对于由矩阵M和数字集D构成的仿射迭代函数系{φd(x)=M-1(x+d)}d∈D,存在唯一的概率测度μ:=μM,D满足μ=(?),它的
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设M ∈ 是一个扩张矩阵,D(?)Zn是一个基数为|D|的有限数字集.对于由矩阵M和数字集D构成的仿射迭代函数系{φd(x)=M-1(x+d)}d∈D,存在唯一的概率测度μ:=μM,D满足μ=(?),它的谱与非谱问题一直是人们关注的内容.本文主要研究空间Sierpinski垫上μM,D-正交指数系的有限性,即对它的非谱性中的第一类问题进行分析.本文的主要内容如下:第一部分,由矩阵M=diag[p1,p2,p3]和数字集D={0,e1,e2,e3}构成的空间Sierpinski垫T(M,D)是空间分形的典型代表,其中pi,p2,p3 ∈ Z\{0 ± 1},e1,e2,e3是R3上的标准正交基.当p1 ∈ 2Z,p2,p3 ∈ 2Z+1 且p2≠p3时,μM,D-正交指数系的有限性已被证明,但正交指数系的最大基数问题还没有解决.已经构造出的五元素和八元素正交指数系反驳了最大基数为“4”的猜测.本文进一步探讨了这个问题,在p2≠±p3的情形下,构造出了Hilbert空间L2(μM,D)中的一类十元素正交指数系,并证明了它的最大性.这就否定地回答了是否所有八元素正交指数系都是最大的这一公开问题.第二部分,主要对空间R3中自仿测度μM,D的非谱性进行分析,其中M是一类特殊的扩张矩阵,D={0,e1,e2,ei+e2},ei,e2是R3中的单位列向量,得到在此情形下,μM,D不是谱测度,且空间L2(μM,D)中正交指数系至多包含4个元素,数字“4”是最好的.
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