图像处理在很多重要领域如医学图像处理、军事目标识别、指纹自动处理、航空卫星图像的机器处理等都有广泛应用。底层图像处理是图像处理中的关键步骤,主要包括图像去噪、图像分割以及最近兴起的图像分解三个领域。底层图像处理是进一步进行图像分析的基础,好的底层图像处理结果意味着好的图像分析结果。因此研究图像去噪、分割和分解有着重要的现实意义和应用价值。20世纪90年代,基于偏微分方程的图像处理技术得到了迅速发展,其中扩散方程作为一类重要的偏微分方程,在图像处理中被广泛应用。基于扩散方程的图像处理模型一般根据图像自身的特征,结合扩散现象的物理机制构造扩散方程进行图像处理。本文利用偏微分方程图像处理技术,基于非线性各向异性扩散方程(组)建立图像去噪、图像分割和图像分解模型,主要内容如下:首先,本文从不同噪声类型的特征出发,提出一类基于混合型各向异性扩散方程的去噪模型。该模型在图像近边界处表现为各向异性扩散,从而能够很好地保护边界;在图像内部表现为各向同性扩散,因此能够有效去除噪声。本文利用不动点理论证明模型解的存在唯一性,并进一步讨论解的渐近性等其他性质。在数值实验方面,上述模型能够利用PMS格式和AOS格式进行数值离散,并得到高效的数值算法。数值实验结果表明:新模型一方面能够对图像的非齐次区域(图像边界)进行保护;另一方面也可以对图像的齐次区域(图像的平滑区域)进行有效去噪。然后,本文提出一类基于正倒向扩散方程和离散灰度水平集的两阶段图像分割算法。在第一阶段,提出一类非凸泛函用来去除原始图像的噪声以获得光滑图像,同时锐化边缘;在第二阶段,首先提出基于灰度水平集的能量泛函,并讨论该能量泛函全局最小值的存在性。然后在离散情形下给出该能量泛函的等价形式,并基于等价形式设计第二阶段的算法。本文直接在离散灰度水平集上计算能量泛函而不是求解对应的偏微分方程,可以避免初始水平集的选取和水平集的重新初始化,从而极大提高分割效率,算法复杂度仅为O(N)(N为图像像素数)。新算法的分割结果与CV模型相似,但是效率有很高的提升,并能够高效处理大尺寸复杂图像。最后,本文提出一类基于退化奇异抛物方程组的图像分解模型,可以从大区域中更好地分离出纹理部分。该方程组由两个具有不同类型二阶主部的扩散方程组成,其中一个方程为p-Laplace流,另一个方程为最小变差流。由于该方程组既有退化,又有奇性,因此需要利用正则化方法进行研究。本文给出方程组熵解的定义,并利用正则化、先验估计和取极限过程证明熵解的存在唯一性和有界性。数值实验结果表明,新的方程组可以更好地把图像分为小几何尺度的纹理信息和大几何尺度的图像轮廓信息。与TV模型相比,新模型的分解结果更为突出。