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我们知道，运用标准的Galerkin方法求解方程-ε△u+a·▽u=f，当ε《h·|a|时，所得到的近似解将出现振荡。为得到稳定的解，除了FEM、SUPG等方法外，近年来又出现了起泡法。同样的，为得到抛物方程ut-ε△u+a·▽u=∫当ε《h·|a|时的近似解，本文运用起泡法的思想对其空间离散，而在时间上运用常见的Euler-Galerkin向后差分法，在此基础上进行了对耦合方法的先验估计，并在文末说明了将此方法进一步拓展的可能性。
全文共分四章.
第一章通过蕴育起泡法产生的多尺度问题：
{Lu=-ε△u+a·▽u=finΩu=0onaΩ.
引入了起泡法的概念，并进一步阐明其指导思想.给出了部分后文证明中需要用到的方程与函数，同时叙述了起泡法的发展概况及本文的进展.
本章共分二节.
第一节在方程Lu=finΩu=0on()Ω.
(1.1.1)的基础上，说明了由于假设ε《|a|·diamΩ，(1.1.1)实际上是一个多尺度问题.指出若用标准的Galerkin方法求解，将会发现因边界层引发的近似解波动将会影响到整个区域Ω，而原方程的精确解并不存在这种波动.
进而给出作为解决方案的起泡法，其思想是通过在每个小剖分单元T上引入，T内非0，()T和T外衡为0的泡函数，从而解空间扩展为：Vh=VL+VN(1.1.3)
这样，(1.1.1)的离散问题可以表示为：{finduh=uL+uB，s.t.ε∫Ω▽uh▽vhdx+∫Ω(a·▽uh)vhdx=∫Ωfvhdx(A)vh∈Vh.
(1.1.4)并指出由于泡函数的特殊性，可通过推导，将离散问题转化为：{finduB∈VB，s.t.ε∫T▽uB·▽vTBdx+∫T(a·▽uB)vTBdx=(f-a·▽uL)|T∫TuTBdx(A)TB∈VB.
(1.1.6)转而通过求解满足：
{-ε△bT1+a·▽bT1=1inT,bT1=0else.
(1.1.7)的解bT1∈VB便可节省运算量.
第二节介绍了起泡法的发展现状，并指出在前人对椭圆问题研究的基础上，本文主要的工作是将起泡法推广到抛物问题中，并对此推广给予误差的先验估计.
第二章在提出所要研究抛物问题的基础上，给予必要的符号说明，及其离散方程.
本章共分两节.
第一节给出所要研究的抛物方程：
{ut-ε△u+a·▽u=f，x∈Ωt∈[0，TE]，u(x.t)=0，x∈()Ωt∈[0,TE]，u(x,0)=v，x∈Ω.
(2.1.1)及其参数含义，并给出了下文中经常出现的符号定义.
值得一提的是，由于起泡法的解空间不同于一般的P1元，不妨给出定义1拟椭圆投影PB：
(▽PBu，▽x)=(▽u，▽x)()X∈Vh.
以示区别.
第二节分别给出了半离散方程：
{N∑j=1α′h(t)(φj，φk)+n∑j=1αj(t)(ε▽φj，▽φk)+n∑j=1αJ(t)(a·▽φj，φk)=(f，φk)，k=1，2，…，N+1，αj(0)=γj，j=1，2，…，N+1.
(2.2.3)和全离散方程：{NΣj=1αnj-αnj-1/τ(φj,φk)+NΣj=1αnj(ε▽φj,▽φk)n=1,2,…，N，+n∑αj=1αnj(a·▽φj,φk)=(f，φk)，k=1，2，…，N+1，α0j=γj，j=1，2，…，N+1.
(2.2.6)并给出了相应的矩阵形式：Aα′(t)+(εB+C)α(t)=～ft≥0，α(0)=γ.(2.2.4)
(A+τεB+τC)αn=Aαn-1+τ～f(tn).(2.2.7)
第三章通过三个引理和五个定理，给出了本文方法的收敛性分析本章共分两节.
第一节首先给出了一个注解由于diva=0，所以有(a·▽vh，vh)=-(vh，a·▽vh)=-(a·▽vh，vh)(→)(a·▽h，vh)=0()vh∈VL.
指出一个下文中常要用到的技巧.并给出两个定义：
定义2对于剖分单元T内任意一点x，若单元边界-T上点xa满足：|a·(x-xa)|=‖a‖‖x-xa‖且a·(x-xa)≥0，则称xa为x的迎风前端.
定义3令haT=maxx∈-Ta·(x-xa)/|a|2～hT=1/|T|∫TbT1dxh*T=∫T(bT1)2dx/∫tbT1dx
再以两个引理说明其性质：
引理1对于任意取定的ε，对于每个剖分T，其内任意一点x，与它的迎风前端xa间成立如下关系：
0≤bT1≤a·(x-xa)/|a|2
引理2假设剖分所得的任意三角形中，最小角的度数都大于正常值θ0＞0.
则存在不依赖T之选取的正常数C，满足关系：
～hT≥ChT/|a|min{hT|a|/ε,1}.
接着以三个定理的形式给出椭圆问题的误差估计：
定理1假设uh为(1.1.4)的解，～u，eL的定义分别参见(3.1.10)(3.1.14)，则有如下估计式：
ε1/2||▽e||0.Ω=(ε‖▽eL||20.Ω+∑T～hT||a·▽eL||20.T)1/2.(3.1.16)
定理2假设uh为(1.1.4)的解，～u，eL，γT的定义分别参见(3.1.10)(3.1.14)(3.1.17)，且假设精确解u∈Hs(Ω)∩H10(Ω)，则有：
ε‖▽e||20,Ω≤C∑TγTh2sT-1|u|2s,T(3.1.21)
ε‖▽eL||20,Ω+∑T～hT||a·▽eL||20,T≤C∑TγTh2s-1T|u|2s.t.(3.1.22)
其中常数C只依赖于Th中三角形的最小顶角度数θ0.
定理3假设uh为(1.1.4)的解，～u，eL，γT的定义分别参见(3.1.10)(3.1.14)(3.1.17)，且假设精确解u∈Hs(Ω)∩H10(Ω)，则有：
ε1/2||▽(u-uh)||0,Ω≤(C∑TγTh2s-1T|u|2s.TT)1/2,(3.1.23)
(ε||▽(u-uL)||20,Ω+∑T～hT||a·▽(u-uL)||20,T)1/2≤(C∑γTh2s-1T|u|2s,T)1/2.(3.1.24)
其中常数C只依赖于Th中三角形的最小顶角度数θ0.
第二节为得到对应抛物问题的误差估计，首先通过：
引理3假设u∈Hs(Ω)∩H10(Ω)，其中1≤s≤r，则对于任意的x∈Vh存在如下关系：
infX∈Vhε1/2{||PEv-X||+hT||▽(PEv--X)||}≤C1(C∑TγTh2s+1T|u|2s,T)1/2≤Chs+1/2T||u||s(3.2.2)
给出一个适应抛物问题先验估计的，空间Vh相对于Sobolev空间的逼近关系.在此基础上给出了半离散问题的误差估计：
定理4假设un和u分别是(2.2.2)和(2.1.1)的解，则有如下误差估计式：‖uh-u(t)‖≤‖vh-u‖+Chr+1/2Tε-1/2{‖v‖+∫t0t‖ut||rds}，t≥0.(3.2.8)
由此最终得到了全离散问题的误差估计：
定理5假设Un和u分别是(2.2.5)和(2.1.1)的解，则有如下误差估计式：
‖Un-u(tn)‖≤‖vh-v‖+Chr+1/2Tε-1/2{‖v‖r+∫tn0‖ut‖rds}+K∫tn0‖utt‖ds,n≥0.
(3.2.1)其中常数C只依赖于Th中三角形的最小顶角度数θ0，而常数K为时间的运用Euler-Galerkin向后差分法的步长.
第四章对收敛结果和可能的新拓展进行了探讨.