【摘 要】
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此论文研究空间形式中毛细管超曲面的稳定性,以及闭超曲面的一些整体性质。论文的主要部分研究空间形式中毛细管超曲面的稳定性。给定带边黎曼流形（M,g）,M中的紧致带边超曲面M称为是毛细管超曲面,如果M有常平均曲率且M与（?）M相交成常数夹角。毛细管超曲面M称为是稳定的,如果它是能量泛函的在任意容许保体积变分下的二阶极小点。在第3章中我们固定M为欧氏单位球体。通过分析欧氏单位球体上一类重要的共形变换作用
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此论文研究空间形式中毛细管超曲面的稳定性,以及闭超曲面的一些整体性质。论文的主要部分研究空间形式中毛细管超曲面的稳定性。给定带边黎曼流形（M,g）,M中的紧致带边超曲面M称为是毛细管超曲面,如果M有常平均曲率且M与（?）M相交成常数夹角。毛细管超曲面M称为是稳定的,如果它是能量泛函的在任意容许保体积变分下的二阶极小点。在第3章中我们固定M为欧氏单位球体。通过分析欧氏单位球体上一类重要的共形变换作用在毛细管超曲面上的性质,我们证明了欧氏球体中有某种对称性的毛细管超曲面的不稳定性。在第4章中我们考虑M为欧氏空间中由多张超平面围成区域的情形。当这些超平面的法向量线性无关时,通过构造试验函数,我们证明了区域M中稳定紧致浸入毛细管超曲面在适当条件下必为标准球面的一部分。在第5章中,我们考虑带密度流形框架下毛细管超曲面的稳定性,把一些著名的稳定性结果推广到带密度流形上。论文还研究了闭超曲面的几个整体性质。在第6章中,考虑一类warped乘积流形M中的闭嵌入超曲面M,通过观察到M上椭圆点的存在性,我们去掉了Brendle-Eichmair[1]关于M的高阶平均曲率的Alexandrov型定理中的凸性条件。在第7章中,考虑双曲空间Hn+1和球面空间Sn+1中的闭凸超曲面M,通过对M做单位法向演化得到一族超曲面,然后分析这族超曲面在等周不等式的约束下的极限性态,我们得到了新的Alexandrov-Fenchel型不等式。
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