在计算流体力学研究中，各种间断问题的高分辨率数值求解方法一直是一个重要的课题。如超声速、高超声速流动中的激波，高速化学反应流动中的爆轰波，多相物质间的界面等的存在，都给数值模拟研究带来各种不同的挑战。本文正是针对求解这些问题时遇到的一些困难，发展了相关的数值求解方法。　　(1)激波是可压缩流动中的一个重要现象。激波捕捉经历了半个多世纪的发展，在近年来，加权基本无振荡(WEN0)格式由于既能无振荡的捕捉激波，在光滑区又具有一致高阶的精度而得到越来越多的应用。但是，已有的一些WENO格式主要是针对极值点格式精度降低的问题来进一步发展性能更好的WENO格式，如WENO-M，WENO-Z等格式。针对WENO格式在过渡点附近区域所表现出的不足，本文提出多步加权思想及多步加权基本无振荡（Multistep WENO）格式，有效提高了WENO在激波附近的计算精度。此外，大量研究表明，对可压缩湍流的大涡模拟、直接数值模拟研究，WENO格式仍然存在耗散过大等不足之处，因此需要发展高精度低耗散低色散的激波捕捉格式，如构造激波捕捉格式与线性格式的杂交格式等，对于这类格式，如何有效识别间断是关键问题，文中对比了现存的不同激波识别方法，得出基于模板光滑因子（整体/局部关系）的SZ识别方法由于不带人为的判别参数而最为有效。为高性能杂交格式提供了一个理想的构造思路。进一步基于SZ识别方法，发展了理想磁流体(MHD)方程求解的有限紧致格式求解算法。　　(2)界面是性质不同于激波的另一类间断问题，界面广泛的存在于如燃烧室混合、射流等流动中。除了传统的无厚度的界面以外，往往还需要处理超过三相以上的多相界面和存在一定界面厚度的耗散界面，耗散界面产生的原因包括不可忽略的相间扩散、相变和化学反应等。考虑到常用的界面方法，如Level-Set方法，VOF方法等在守恒性方面或非传统型界面推广中的困难，提出一种新型的粒子类界面方法一双信息保存(DIP)方法。该方法的主要思想是:在Euler单元内引入两类Lagrange信息点，一类限制在单元内移动，称为单元信息点，用来传信息点和单元间信息，另外一类全域追踪，称为粒子信息点，用来修正单元点更新过程中引入的误差。DIP方法直接求解对流方程本身，可以很好的模拟各类界面问题。　　(3)在高速化学反应流动中，爆轰波是最常见的物理现象之一，爆轰波由诱导激波和化学反应区域构成，而化学反应是一类耗散界面问题，因此爆轰波是结合了激波和界面两类间断类型的间断问题。在爆轰波模拟中，反应和流动存在尺度差距，由于激波捕捉格式本身的数值耗散会导致源项错误的激发，可能会得到错误的爆轰波波速和非物理的结果。本文提出将反应Euler方程分裂为流动Euler方程、组分对流方程和组分反应方程，进一步将DIP方法应用在组分对流方程求解中，能有效避免化学反应流动模拟中的刚性问题，如非物理的爆轰波转播速度等。另外，本文还将DIP方法推广到采用基元反应模型的更精细的爆轰反应求解中。数值实验表明，新的求解方法能很好地保持总组分的守恒性，避免爆轰波波前和波后组分的振荡，在精度方面也比传统的求解方法表现的更好。　　(4)本文还针对高速化学反应流动的时间刚性问题，基于数值摄动的思想，发展了常微分方程(ODE)求解的高精度、刚性稳定、具有显形式的数值摄动(NP)格式，并将其应用于爆轰波的数值模拟中，验证了所发展格式的高精度及稳定性等性质。