变阶数微分方程是分数阶微分方程研究的延伸与拓展,其基本特征是导数的阶数会随着时间或空间的变化而发生改变.近十年来,变阶数微分方程模型在许多领域均有成功的运用,但是其数学理论的研究较为缺乏,特别是对于这类方程解性质的刻画一直是一个非常困难的问题.本文通过对两类变阶数物理模型进行研究,旨在得到这两类方程的解在初始时刻的Puiseux级数展开式,以刻画变阶数微分方程的解在初始时刻的奇异性质.基于该级数展开式设计一种向后差商算法,得到这两类模型具有较高精度的近似解.全文共分为四章.第一章介绍变阶数微分方程的发展历程,对变阶数微分方程数值算法的研究现状进行简单的总结,并给出本文的研究目的及主要内容.第二章给出本文所需要的预备知识,包括几种常见的变阶数分数阶积分与微分的定义及其相关性质,函数在奇点的Puiseux级数的定义以及一些特殊函数在奇点处的Puiseux级数展开式.另外,介绍Gamma函数的相关知识,包括Gamma函数及其倒数的高阶导数的计算公式以及Gamma函数及其倒数在一点处的级数展开式.最后给出Caputo变阶数导数的向后差商离散格式.第三章研究一类广义的时变粘弹性材料的本构模型.首先,对于一类在零点处代数且对数奇异的特殊函数,给出其在Caputo变阶数微分算子作用后的Puiseux级数展开式,然后设计算法求出这类方程的解在初始点处的有限项级数形式的展开式,对于方程解的奇异性质做到准确刻画.最后基于该级数解在远离零点时,利用向后差商离散导数,得到方程在较长区间上的数值解.第四章针对一类具有时变记忆性质的变阶数松弛方程进行研究.首先对这类方程的历史进行简要的介绍,然后设计一种迭代算法得到此类方程的解在初始时刻的有限项Puiseux级数展开式.其次,基于已得到的Puiseux级数展开式,设计向后差商算法得到这类方程在全区间上具有较高精度的解.最后,编写Mathematica程序进行实际计算,结果表明,本文给出的混合差商算法具有级数展开算法和向后差商算法的优点,对于这类变阶数微分方程有着良好的计算效果.最后,给出结论并对全文内容进行总结,指出以后的研究方向.