借助数学模型研究传染病是传染病理论研究的重要方向之一.由于不同的传染病具有不同的传播机理,因此,针对不同的传染病建立不同的数学模型在传染病模型研究中得到认可.许多慢性传染病（如艾滋病）的传染率大小可能与人感染的时间长短有关,而且康复或死亡的可能性也取决于感染后经历的时间.对此,很早就有研究人员建立年龄结构数学模型来描述这个过程,但是这类模型理论研究的快速发展得益于近年来无穷维空间的相关理论研究的深入.基于这些理论,本文研究几类特殊传染病的分支和平衡态的全局渐近稳定性问题,并结合实际数据对模型的参数进行拟合,从而在已有模型假设条件下,对传染病的传播进行预测,结合模型给出合理的控制措施.同时,研究一类具有终生免疫的传染病在不同控制策略下的最优控制问题.本文的主要工作如下:一、长期的病例观察和病理研究发现,HIV在人体内具有非常强的鲁棒性,本文第二章将借助数学模型的动力学分析验证HIV在人体内的这一特性.本章研究一个易感CD4⁺T淋巴细胞受到艾滋病毒刺激后会进行有丝分裂的年龄结构HIV模型的Hopf分支问题.由于是在无穷维空间中建立的模型,因此,常微分方程中的Hopf分支定理已经不适用,本章将使用Liu等人最近给出的非稠定Cauchy问题的Hopf分支定理对模型进行动力学分析.首先将模型改写成等价的非稠定的Cauchy问题,然后通过严密的理论分析证明建立的模型满足定理的假设,并给出模型唯一正平衡态存在的充分条件.通过对模型在平衡态处的线性化,研究了相关的特征方程,分析模型在平衡态处的局部渐近稳定性.证明当分支参数穿过某些阈值时HIV模型会出现分支现象,并给出数值模拟.最后分析发现有丝分裂对模型出现Hopf分支是必要的,并且从稳定的平衡态到稳定的周期解正是HIV在人体内高度鲁棒性的一种体现.二、疟疾每年会造成全球上亿人感染,几十万人死亡,是世卫组织重点关注的传染病之一.本文第三章研究一个易感人群具有预防期、感染人群和雌性按蚊都具有潜伏期的年龄结构疟疾模型的稳定性问题.无穷维空间稳定性的分析是一个非常复杂的过程,包括解半流的渐近光滑性、一致持续性和几类全局吸引子的存在性.本章详细的分析了这些理论结果.从生物学相关角度定义了模型的基本再生数R₀,并证明了在发生疟疾传播的情况下,R₀完全决定了模型的无病平衡态和地方病平衡态全局渐近稳定性,当R₀<1无病平衡态是全局渐近稳定的,当R₀>1地方病平衡态是全局渐近稳定的.最后通过数值模拟验证本章的理论结果.通过与常微分模型作比较发现年龄结构的疟疾模型得到的阈值R₀更小,这说明相比较常微分模型,从年龄结构模型角度看,疟疾控制的难度要小.三、由于感染肺结核到出现肺结核症状的可能性会随时间而变化,大量的研究表明,随着时间的推移出现肺结核症状的可能性慢慢变小.因此,本文第四章研究一个包含潜伏期和复发期的年龄结构肺结核模型.给出模型的基本再生数R₀,并证明R₀就是模型的动力学阈值,当R₀<1,则无病平衡态是全局渐近稳定的,这意味着肺结核将消失;如果R₀>1,则存在唯一的地方病平衡态,并且在发生肺结核传播的情况下,它是全局渐近稳定的.接下来,将优化控制中的灰狼算法（GWO）引入到年龄结构模型中,根据2007-2018年中国肺结核新增病例数据,对模型中的参数和初值进行估计.此外,对估计的部分参数进行不确定性分析和敏感性分析,找出对阈值最具影响力的参数.最后,基于建立的模型提出了一些可行性的建议,包括增强媒体报道、公共教育和延长强制隔离时间,以期让中国能够实现世卫组织的肺结核控制目标,即到2030年将肺结核发病率相比2015年降低80%.四、在传染病的控制过程中,控制成本是一个非常重要的考虑因素.本文第五章研究一类带有接种和治疗并且染病者具有年龄结构的SIR模型的最优控制问题.利用Banach压缩映射原理和Gronwall引理,证明了该年龄结构传染病模型非负解的唯一性以及对选取的控制变量的连续依赖性.借助切锥法锥方法给出无条件约束下最优接种和治疗策略的必要条件.根据Ekeland变分原理给出最优接种和治疗策略存在性和唯一性的充分条件.利用Dubovitskii-Milyutin定理,研究在有限时间内具有终端约束的最优接种和治疗问题.给出模型最优接种和治疗策略的必要条件.