本文基于符号计算,研究了非线性科学中的对称性、可积性、KP约化、可积离散及其相关应用问题。主要展开了四个方面的工作：研究了耦合非线性可积系统的非局域对称和相关应用；利用Hirota双线性方法发现了一类多分量孤子方程的Pfaffian形式的孤子解,并开发了检验Pfaffian瓜子解的程序包；基于KP理论研究了多分量耦合Yajima-Oikawa(YO)系统的多暗孤子解、混合孤子解和有理解；构造了耦合YO系统的半可积离散形式及其亮、暗孤子解,并提供了连续和半离散可积(复)Sp(m)-invariant massive Thirring models(SMTM)的Pfaffian形式的多孤子解。第一章为绪论部分,重点介绍了对称理论、双线性方法和符号计算的背景与发展现状,并且阐明了本论文的主要工作。第二章研究了耦合的Hirota-Satsuma coupled Korteweg-de Vries(HS-cKdV)系统和modified Generalized Long Dispersive Wave(MGLDW)系统的非局域对称和相关应用。基于Lax对,推导了由谱函数表示的非局域对称。一方面,成功地将非局域对称局域化,并考虑了局域对称的有限变换和相似约化,得到了精确的孤立波和周期波,Painleve波,有理波等复合波的相互作用解。另一方面,构造了初始系统的负梯队与有限维和无限维可积系统。第三章首先利用Hirota双线性方法研究了HS-cKdV方程和Ito方程的多分量扩展系统。利用Pfaffian技巧,证明了孤子解满足的双线性方程即为Pfaffian恒等式。其次,基于双线性方法和Pfaffian技术,开发了一个Maple程序包Pfafftest1:可以直接地计算一般形式的Pfaffian;利用三孤子解条件寻求cmKdV型和cdmKdV型的可积双线性方程。第四章在KP理论基础上,利用双线性方法研究了多分量耦合YO系统的多暗孤子解,混合孤子解和有理解。首先,推导并证明了Gram型和Wronski型行列式形式的N-暗-暗孤子解。暗-暗孤子的碰撞只存在弹性现象并在孤子之间没有能量交换。然后,推导了一维多分量耦合YO系统的N-亮-暗孤子解。在这种混合型孤子中,只有在至少两个短波分量为亮孤子时,这两个短波分量中的两孤子才可能产生非弹性碰撞现象。最后,构造了两维和一维多分量YO系统的显式行列式形式的有理解。基本有理解描述了局域的lump和怪波,其具有三种不同的类型：亮态,亮-暗态和暗态。非基本型的怪波分成两种类型：多怪波和高阶怪波。特别地,考虑不同的参数要求,我们首次报道了两维暗态和亮-暗态的怪波。第五章利用Hirota可积离散方法,构造了耦合YO系统的半可积离散形式。同时,基于半离散BKP族的Backlund变换,推导了半可积离散耦合YO系统的亮和暗孤子的Pfaffian形式解。提供了连续和半离散可积(复)SMTM系统的Pfaffian形式的多孤子解。虽然半可积离散的SMTM系统可以通过离散Lax对方法得到,但利用Hirota可积离散方法,推导了相同的离散格式。第六章对全文工作进行讨论和总结,并对下一步要进行的研究工作做了展望。