【摘 要】
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近年来,分数阶微积分理论的迅速发展促进了其在反常扩散、湍流、粘弹性力学等领域的应用与研究,由于分数阶导数具有非局部特性,因此分数阶模型能够更准确地描述许多物理过程.本文主要针对两类时间分数阶微分方程,基于Caputo分数阶导数的快速数值算法构造了高效的数值求解模型,通过Chapman-Enskog分析的方法证明了模型的正确性和有效性,并利用丰富的数值算例进行了验证.对于具有Caputo时间分数阶导
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近年来,分数阶微积分理论的迅速发展促进了其在反常扩散、湍流、粘弹性力学等领域的应用与研究,由于分数阶导数具有非局部特性,因此分数阶模型能够更准确地描述许多物理过程.本文主要针对两类时间分数阶微分方程,基于Caputo分数阶导数的快速数值算法构造了高效的数值求解模型,通过Chapman-Enskog分析的方法证明了模型的正确性和有效性,并利用丰富的数值算例进行了验证.对于具有Caputo时间分数阶导数的波方程,首先通过对方程的时间导数项进行降阶,然后对Caputo分数阶算子进行离散,将之分为历史部分和当前部分两部分,其中历史部分是一个具有历史依赖性的积分,为了提高计算效率,采用Caputo导数的快速算法进行逼近?而对于当前部分,为了保持方程依赖时间的特性,采用右矩形公式进行近似处理,保留了方程的一阶时间导数项.接下来通过速度离散、时间和空间的离散,选取合适的平衡态分布函数和离散作用力构造了格子Boltzmann-BGK模型.应用Chapman-Enskog分析的方法,将所建立的格子Boltzmann模型恢复到对应的宏观方程,从而证明了该模型的正确性和有效性,并在分析的过程中导出了松弛时间τ和宏观方程中参数之间的关系.最后给出的数值算例进一步表明了该模型是有效的,而且通过数值结果还验证了此模型空间二阶收敛.基于时间分数阶波方程的格子Boltzmann模型,建立了时间分数阶Klein-Gordon方程和时间分数阶Sine-Gordon方程的格子Boltzmann模型,对具有精确解的初边值问题进行数值验算,结果表明用所建立的模型求得的数值解与原方程的解析解吻合较好.对于没有解析解的由时间分数阶Sine-Gordon方程刻画的圆环孤子随时间演化的问题,用格子Boltzmann模型模拟得到的数值解与现有文献结果是一致的.此外,还用此模型模拟了Caputo分数阶导数阶数的变化对孤子解演化过程的影响,可以从数值解的图像中观察到分数阶导数对演化过程的影响.本文最后利用以上离散Caputo分数阶导数和建立格子Boltzmann模型的方法,构造了求解时间分数阶不可压Navier-Stokes方程的格子Boltzmann-BGK模型,并通过Chapman-Enskog分析从理论上证明了该模型的正确性和有效性.与时间分数阶波方程相比,由于分数阶Navier-Stokes方程是耦合方程组,而且含有非线性项,因此其格子Boltzmann模型中的平衡态分布函数和离散作用力项更为复杂,Chapman-Enskog分析的过程也更为繁琐.此外,由于恢复Navier-Stokes方程要求平衡态分布函数满足更高阶的矩条件,因此必须使用对称性更好的格子速度集合.在数值实验中,选取了一个二维的具有解析解的初边值问题进行数值验证,通过数值解与解析解之间的误差验证了此模型的有效性.
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