【摘 要】
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设G=（V,E）是一个图,其中V是G的顶点集,E是G的边集.令S为V的一个子集,如果V\S里的每个顶点都与S中的一个顶点相邻,则称S是G的控制集.S （?） V是G的一个全控制集,如果S是G的控制集并且S的诱导子图中不存在孤立点,也就是S中的每个点在S中有一个邻点.G的最小控制集（全控制集）的基数称为G的控制数（全控制数）,记为γ（G）（γt（G））.顶点u ∈ V点边控制一条边vw∈E,如果1.
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设G=（V,E）是一个图,其中V是G的顶点集,E是G的边集.令S为V的一个子集,如果V\S里的每个顶点都与S中的一个顶点相邻,则称S是G的控制集.S （?） V是G的一个全控制集,如果S是G的控制集并且S的诱导子图中不存在孤立点,也就是S中的每个点在S中有一个邻点.G的最小控制集（全控制集）的基数称为G的控制数（全控制数）,记为γ（G）（γt（G））.顶点u ∈ V点边控制一条边vw∈E,如果1.u=v或u=w（u与vw关联）,或者2.uv或uw是G的一条边（u关联的一条边与vw相邻）.换句话说,顶点u点边控制N[u]中的点关联的边.S（?）V是G的一个点边控制集,如果对所有边e∈E,存在一个顶点v∈S点边控制e.S （?）V是G的一个全点边控制集,如果S是G的点边控制集并且S的诱导子图中不存在孤立点,也就是S中的每个点在S中有一个邻点.G的最小点边控制集（全点边控制集）的基数称为G的点边控制数（全点边控制数）,记为γve（G）（γvet（G））.在本文中,我们首先给出了找树的点边控制数的算法和树的全点边控制集的算法.然后对满足点边控制数等于控制数的树进行了刻画:满足γve（T）=γ（T）的树T当且仅当T为K1,n,n ≥ 1或T为r个K1,n,n≥2的叶子节点相连并且满足每个K1,n至少有一个叶子节点不连接其他叶子节点.接着对满足全点边控制数等于二倍点边控制数的圈进行了刻画:圈Cn满足γvet（Cn）=2γve（Cn）当且仅当n ∈ {2,3,4,7,8,12}.最后我们给出全点边控制数等于点边控制数的树的刻画:通过构造树类H和L,进而研究其之间的连边关系得出一系列结论,最后得到满足全点边控制数等于点边控制数的树类.
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