孤子方程属于无穷维可积系统，是当今非线性科学研究的主流方向之一。人们惊喜的发现这些有限维可积系统紧密地联系着无穷维可积系统，即大部分已知的有限维可积系统均可由无穷维可积系统在有限维不变子流形上收缩得到。另一方面，人们要很好的理解孤子方程所描述的非线性行为或实际应用中的内在机制，对于这些非线性动力系统的可能约化，并获得其显式解是十分重要的。本学位论文正是从以下几个方面对描述非线性现象的孤子方程进行进一步的研究和探讨： 寻求新的有限维可积系统一一 可积系统中的重要问题之一就是找出尽可能多的新的有限维可积系统。Flaschka曾提出过这样一条原则：可积系统的约化系统应该仍是可积的。基于Flaschka的思想和Moser的工作，曹策问教授于1989年首创Lax对非线性化方法用于从无穷维可积系统(孤子方程)生成有限维可积系统。鉴于此，我们结合Moser约束方法、一般r一矩阵理论及Lax对非线性化，分别由耦合Harry—Dym孤子族和笔者给出的一个孤子族导出两个新的Neumann型有限维可积系统。此外，结合母函数方法，由修正fModified)Jaulent-Miodek孤子族给出了一个新的Bargmann型有限维可积Hamiltonian系统。值得一提的是：在获得与耦合Harry—Dym孤子族相联系的Neumann型有限维可积系统过程中，我们还将用于导出Bargmann型有限维可积Hamiltonian系统所使用的母函数方法平推到了Neumann型情形。 孤子方程的分解及其在黎曼曲面上的线性约化一～在经典力学中，为揭示无穷维孤子系统的Liouville可积性的基本结构，主要目标就是恰当选取作用一角变量，利用Liouville—Arnoldl~论在不变环面上拉直各种流，从而使得有些非线性动力系统被显式积出，如：牛顿二体问题、Jacobi椭球测地流、球面上的谐振子等。但是，由于孤子系统具有很高的非线性性和显著的个性差异，我们通常先将孤子方程分解为相容的有限维可积系统，进而利用代数几何知识对其进一步线性约化。这里我们详细的讨论了L-C-Z孤子族及与其相联系的(2+1)一维孤子系统的相容分解，并确定了无穷维孤子系统与有限维可积Hamiltonian系统之间的内在联系；以及耦合Harry—Dym孤子族的分解和线性约化，从而揭示该孤子族在黎曼曲面上潜在的线性行为。 Neumann型有限维可积系统在求解孤子方程中的应用一一众所周知，Bargmann型有限维可积系统已经被成功的应用于求解(1+1)一和(2+1)一维非线性发展方程。一个很自然的想法就是是否能用带有第二类约束的Neumann型有限维可积系统求解孤子方程?事实上，在这方面已经积累了一些工作。首先是Sklyanin教授提出了从r一矩阵关系定义可分离变量的一般模式。另一方面，周汝光教授阐明了Dirac括号与Neumann型有限维系统的关系，提出了一个用r一矩阵方法处~Neumann型有限维系统的一般方法，并对已有的Neumann型约束Jaulent—Miodek流和Neumann型约束Tu流进行了分离变量和直化。然而，周汝光教授并没有利用Neumann型有限维可积系统最终给出相应孤子方程的显式解。在本文中，我们进一步发展了他们的方法，结合Riemann—Jacobi反演技术，最终写出了孤子方程在欧氏空间R2N的约束辛子流形上的显式θ一函数解。文中以散射长波方程和笔者给出的一个孤子方程为例以解释具体的求解程序。事实上，这里我们提供了一个新的、可能的途径用以给出(1+1)一维孤子方程的代数几何解。 孤子方程显式解的代数几何构造一一 代数几何知识的一个基本应用就是用于求解可积的非线性发展方程。对于孤子方程的代数几何解，最初是由Novikov，Dubrovin，Matveev，Its，Marchenko等从周期反散射方法在代数几何的基础上获得。在上个世纪末，由曹策问教授等将Lax对非线性化方法、Lax方程解矩阵的有限阶展开、r一矩阵理论及代数几何知识融为一体再次用于求解(1+1)一维孤子方程和高维孤子方程，从而在国内掀起新一轮构造孤子方程显式解(这里系指显式θ一函数解)的热潮。本文以修]t~Kadomtsev-Petviashvili方程为例： 1．将修tKadomtsev-Petviashvili方程分解为修]~Jaulent-Miodek孤子族前两个非平凡的孤子方程，用以解释曹策问教授提出的构造格式。 2．将修]~Kadomtsev-Petviashvili方程分解为两个新的孤子方程，以解释耿献国教授发展的求解格式。 3.将修~Kadomtsev-Petviashvili方程分解为散射长波方程和耦合Korteweg-deVries方程，说明周汝光教授和乔志军教授给出的求解程序。 这里我们分别用三种不同的求解格式来说明修iEKadomtsev-Petviashvili方程显式θ一函数解的代数几何构造，并对这三种求解格式进行详细说明和比较。