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延迟微分方程广泛出现于物理、生物、工程、医学、经济学等领域,其算法理论研究具有十分重要的意义.1989年,Torelli首次讨论了非线性延迟微分方程数值方法的稳定性,提出了RN-及GRN-稳定性概念,证明了隐式Euler法是GRN-稳定的.但该稳定性定义过于苛刻,存在严重的阶障碍.1999年,黄乘明等人适当放宽上述定义中的限制,提出了R-及GR-稳定性概念,证明了A-稳定的单支方法是R-稳定的,且当采用线性插值时是GR-稳定的.该文主要目的是在上述基础上进一步讨论更为广泛的G(c,p,q)-代数稳定的单支方法用于求解K<,α,β,γ>类非线性延迟微分方程初值问题的数值稳定性.在第一章,我们简要回顾了延迟微分方程数值方法的研究进程.在第二章,我们证明了带有线性插值的G(c,p,q)-代数稳定的单支方法当c≤1时是GR(p/2,q/2)-稳定及弱GAR(p/2,q/2)-稳定的,当c<1时是GAR(p/2,q/2)-稳定的.在第三章,作为单支方法的重要特例,我们讨论隐式Euler法关于非线性变延迟微分方程的数值稳定性,获得了隐式Euler法用于求解变延迟微分方程初值问题时数值稳定的充分条件,这里仅要求延迟量τ(t)是正值函数而不加其他任何限制.目前国内外研究非线性变延迟微分方程数值方法的文献较少,仅有Zennaro[46]、Bellen[9]、Bellen,Guglielmi和Zennaro[10]及王文强[42]等人的论文涉及这一课题.由于存在实质困难,文[46]、[9]和[42]中对延迟量的变化均作了较为苛刻的限制,文[10]仅讨论了形式较为特殊的对角分裂连续Runge-Kutta方法.第四章的数值试验表明该文所获理论结果和实践是一致的.