【摘 要】
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在自然界中,时滞是无法避免的,时滞现象广泛存在于化学、力学、医学、生物学、经济学和控制科学等领域.对于具有时滞的动力系统,常常用时滞微分方程来描述.在时滞微分方程理论中,Hopf分支是一种重要的分支现象,而Hopf分支的出现往往可能伴随着混沌现象.本文根据时滞微分方程的Hopf分支理论和秩一混沌理论,研究了两类时滞微分方程的Hopf分支的存在性,分支方向及稳定性,并对扰动系统的秩一混沌进行了讨论.
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在自然界中,时滞是无法避免的,时滞现象广泛存在于化学、力学、医学、生物学、经济学和控制科学等领域.对于具有时滞的动力系统,常常用时滞微分方程来描述.在时滞微分方程理论中,Hopf分支是一种重要的分支现象,而Hopf分支的出现往往可能伴随着混沌现象.本文根据时滞微分方程的Hopf分支理论和秩一混沌理论,研究了两类时滞微分方程的Hopf分支的存在性,分支方向及稳定性,并对扰动系统的秩一混沌进行了讨论.全文内容安排如下:第一部分研究了一类具有Holling-Ⅳ型发生率和Holling-Ⅲ型治愈率的两时滞SIR传染病模型.本文对以下四种情况进行了讨论:（1）τ1=τ2=0;（2）τ1=0,τ2>0;（3）τ1=τ2=τ;（4）τ1>0,τ2∈（0,τ20）.通过 Hopf 分支理论,得到了 在这四种情况下的正平衡点的局部稳定性和Hopf分支的存在性,并根据Hassard方法研究了第（4）种情况中Hopf分支的分支方向及稳定性,且通过数值模拟验证了理论的正确性.当系统出现超临界Hopf分支时,对此模型加入三个周期扰动项,通过时滞微分方程的秩一混沌理论推导了扰动系统存在秩一奇异吸引子的条件,并在数值模拟中找到了可观测的秩一奇异吸引子.第二部分研究了一类五维的具有阶段性结构的两时滞植物-害虫-天敌模型.其中害虫与植物,天敌与害虫之间的相互作用分别由Holling-Ⅰ型和Holling-Ⅱ型功能反应函数描述.本文对两时滞都不为零的情况进行了讨论,并在τ1∈（0,τ10）,τ2>0的情形中得到了 Hopf分支的存在条件及分支性质.当系统出现渐近稳定的周期解时,考虑到每年天气和季节变换等因素的影响,从而影响到植物的生长及害虫和天敌捕食效果.本文对植物,成熟害虫,成熟天敌分别添加一个周期扰动,根据时滞微分方程的秩一混沌理论,在扰动系统中得到了秩一奇异吸引子的存在性条件.最后,数值模拟结果与理论结果一致.
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