【摘 要】
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在现代科学技术中,信号和图像处理是一个关键技术,在医学,遥感,安全检查,通信等领域中有很多重要的应用.本文研究了其中三类问题的求解方法,涉及非凸建模,算法的设计,算法的收敛性分析和应用.第一类为l0正则化问题.图像在某些变换域中的系数和信号是稀疏的,可以用变量的0-范数,即非零元素个数,来惩罚稀疏性.那么许多问题可以归结为求解l0正则化模型.PIHT（proximal iterative hard
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在现代科学技术中,信号和图像处理是一个关键技术,在医学,遥感,安全检查,通信等领域中有很多重要的应用.本文研究了其中三类问题的求解方法,涉及非凸建模,算法的设计,算法的收敛性分析和应用.第一类为l0正则化问题.图像在某些变换域中的系数和信号是稀疏的,可以用变量的0-范数,即非零元素个数,来惩罚稀疏性.那么许多问题可以归结为求解l0正则化模型.PIHT（proximal iterative hard thresholding）算法是求解该类非凸问题的流行收敛算法.为了进一步了解PIHT算法的特点,在不同假设条件下,本文分析了PIHT算法的o(1/k收敛率和局部线性收敛率.接着基于PIHT算法,外推和矫正技巧提出了两种’加速’算法:利用函数值矫正的外推PIHT算法（EPIHT-FM,the extrapolated PIHT algorithm using function value for modification）和利用梯度值矫正的外推PIHT算法（EPIHT-GM,the extrapolated PIHT algorithm using gradient value for modifica-tion）,并证明了它们的全局收敛性.通过压缩感知,CT图像重建和Logistic回归分类问题,说明了EPIHT-FM算法和EPIHT-GM算法的效果和优势.第二类是多光源定量光声断层成像问题.光声断层成像是一种新兴的医学成像方式,结合了光学成像的高分辨率和超声成像的高精度,并逐渐应用于多种医疗.根据问题的背景和图像处理中的正则化技巧,本文建立了一个非凸非光滑的模型.在连续层面上证明了该模型的光滑部分是梯度Lipschitz连续的.在此结论上,求解该问题的向前向后分裂算法的收敛性得以证明.最后通过模拟试验探讨了所设计的模型和方法的效果.第三类是高下采样率的动态并行磁共振成像问题.磁共振成像是一种非侵入式的间接成像技术,被广泛应用于多种医疗.求解该问题的关键在于:减少采样率以节省数据采集时间的同时保持重建图像的质量.为了能够克服这个挑战,本文利用数据的两种低秩性提出了一个用于恢复校准区域数据的新模型.该模型是非凸非光滑的,可以用PALM算法进行求解.通过验证PALM算法的假设条件尤其是Kurdyka-Lojasiewicz性质,证明了它求解该问题的收敛性.最后通过模拟实验展示了所设计方法的有效性和鲁棒性.
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