令α是一个d次的全实正的代数整数，α1=α，α2，…，αd为它的所有共轭元。令Sk=∑di=1αki(κ为正整数)，显然S1就是通常意义上的α的迹，S1/d被称为α的绝对迹.对于S1/d，有一个著名的“Schur-Siegel-Smyth trace problem"：　　 对于给定的ρ＜2，证明除了有限多个全实正的代数整数α，都有S1/d＞ρ.对于这个问题有很多人进行了研究，在本文中我们利用整超限直径的理论，结合相应的辅助函数，借助改进后的LLL算法和半无限线性规划法解决了ρ＜1.79193的情形.　　 由于寻找迹为负数的Salem数的研究和全实正代数整数绝对迹的研究密切相关，我们利用上述结果给出了有关迹为-4，-5的Salem数的两个结论.　　 1984年，C.J.Smyth对于每一个固定的p＞0，研究了Mp(α)的集合Mp.其中，Mp(α)=(1/d d∑i=1|αi|p)1/p，α是一个d次的全实的代数整数.我们在他研究的基础之上进一步研究了S1k/d(κ=2，3)的下界.　　 作为研究生期间研究工作的一部分，我们最后讨论了不定方程x3+8=Dy2，并给出了其全部整数解.