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中等域等式多变量公钥密码体制简称MFE体制，不仅具有运行效率高、资源需求少、抗量子攻击等传统多变量公钥密码体制的优点，还具有公钥尺寸小、计算复杂度低、密钥生成高效、中心映射隐含特殊矩阵关系的优点，但该体制已被二阶线性化方程攻破，因此增强MFE体制的安全性具有重要意义。多变量Hash函数具有安全性可证明的优点，但性能太差。因此有必要在保证安全的前提下提高多变量Hash函数的性能。本文对MFE体制和多变量Hash函数进行了研究，完成以下工作: (1)对MFE体制的几种改进体制（LWG-1、LWG-2和QXT）进行了安全性分析。分析指出:LWG-1满足一阶线性化方程，不能抵抗一阶线性化方程攻击;高阶MFE体制LWG-2、QXT虽然能够抵抗线性化方程攻击，但都满足分割变量攻击的条件，不能抵抗分割变量攻击。 (2)设计了PH矩阵加强的MFE体制，并对其安全性和等价密钥进行分析。将PH矩阵方法引入到MFE体制中，让公私钥之间的关系由“紧密”变“松散”，使得公钥更加随机化。分析表明新体制能抵抗二阶线性化方程、分割变量等目前已知的攻击。证明了当PH矩阵为方阵且维数与仿射变量T的线性变换部分的列数相同时，新体制的等价密钥与原体制的等价密钥相同。因此与整个空间相比等价密码数量不大，对PH矩阵加强的MFE体制的安全性影响不大。 (3)以多变量二次多项式的标准型为基础，构造了一组多变量三次多项式作为压缩函数，提出了一组多变量Hash函数，并分析其安全性和性能。分析表明该多变量Hash函数不但满足抗原像攻击、抗第二原像攻击和抗碰撞攻击三个安全属性，而且能抵抗针对多变量Hash函数的攻击，如差分攻击、非普适性攻击。原型实现表明该多变量Hash函数的运行效率，与SHA-1相比仅慢5.2倍左右，与已有多变量Hash函数相比提高很多，在一个可接受的范围内。还具有较好的雪崩效应、易于扩展成不同Hash值长度等优点。