在本文的第一部分中，研究了完备黎曼流形的有界连通区域上的Dirichlet重调和算子的高阶特征值估计问题，给出了用前k个特征值估计第k+1个特征值的不等式，这个不等式推广了文献[4]和文献[14]的结果。设Ω为完备黎曼流形M中的有界连通区域，则Ω上的Dirichlet重调和算子的特征值问题(或称“Clamped Plate问题”)为：此式推广了文献中的主要结论。为了得到本文的结论，应用了相似的技巧，[4]的技巧很好的消除了推导过程中的多余项。通过应用Nash嵌入定理和引进k个自由常数，得到了第k+1个特征值的泛界。通过将位置向量的坐标分量作为欧氏空间中坐标函数的替代物，承袭了[4]的方法，这个方法使得上述不等式成为目前这一问题的最好结果之一。还给出了当M为欧氏空间的凸超曲面的极小子流形、椭球面的极小子流形和柱面的极小子流形这几种具体的情形下的相应的特征值估计。　　 在本文的第二部分中，研究了具有正Ricci曲率的低维闭黎曼流形上的拉普拉斯算子的第一特征值的下界估计问题，给出了关于流形的半径和Ricci曲率的下界的新的第一特征值下界估计，改进了文献[10]中的一个结果。对于Ricci曲率具有正下界(n-1)K的n维闭黎曼流形，[10]给出了对任意n的第一特征值λ的下界λ≥π2/d2+0.31(n-1)K和n=2时更好的下界λ≥π2/d2+0.375(n-1)K，这两式是紧致黎曼流形上此特征值问题目前的最好结果。本文中，在n=2.3的低维数情形下给出了更好的估计λ≥π2/d2+0.425(n-1)K，主要应用了类似[10]中的基于丘成桐的“梯度估计法”的“实验函数”方法以及分类讨论过程，通过改进[10]中的分类而得到了更好的下界。