本文分别对一些图类的泛圈性质，最长圈，和可靠性参数进行了研究。 全文分为三部分，分别介绍了有关图的泛圈性质，最长圈和网络可靠性参数的一些研究结果。 第一部分只含第一章。给出了与后两部分中要讨论的问题有关的概念，背景知识和相关的已知结果。 第二部分包含第二章和第三章。主要研究了图的圈性质。在第二章中，给出了泛圈图的有关定义及概念并介绍泛圈图的研究背景。对组合设计BIBD(u，κ，λ)的区组图G<,D>的研究，到目前为止，除了Horák和Rosa的最初的研究以外，只对入=1的情况做了研究。在这一部分中对λ≥1的情况进行了研究，得到了组合设计BIBD(u，κ，λ)的区组图具有泛圈性质(有关区组图的概念参见1.1节)。1998年Ainouche引进了拟无爪图的概念以后，很多有关一般图和无爪图的Hamilton性和最长圈的结果被推广到拟无爪图。在第三章中，对2-连通无爪图的最长圈的结果推广到拟无爪图，证明了2-连通拟无爪图G 的周长c(G)≥min{3δ＋2，n)而且，若n≤4δ，那么G是Hamilton图，其中是2-连通非Hamilton图类(有关拟无爪图的概念参见1．2节)。 第三部分由三章组成。主要研究了图的一些可靠性参数。如果采用一个图G来表示一个通讯网络模型，那么可以用图的很多可靠性参数来估计网络的可靠性。对于有相同点数，相同连通度的两个不同的图，在去掉某些顶点或边以后所产生的最大分支所含的顶点个数可能就不同。这意味着在对应的通讯网络中，某种损失以后仍然能够进行互相通讯的最大群体所含的点数也就不同。但是，图的连通度不能反映这种现象。因此研究图的离散度，坚韧度，完整度等能够反映网络可靠性的参数是非常有必要的(有关离散度，坚韧度，完整度等参数的定义参见1.3节)。对于一般图来说，确定这些可靠性参数的问题是NP-完备的。所以，主要研究了一些特殊图类的可靠性参数。 分别用α，β，σ,κ和δ来表示图的独立数，覆盖数，控制数，连通度和最小度，并且用ε(G)和v(G)来分别表示图G的边数和点数(有关这些参数的定义参见1．3节)。 对G中两个顶点u和v，我们用u～u来表示u和u在G里相邻。 两个图G<,1>和G<,2>的Kronecker乘积(同样称为直积或×乘积)G<,1>×G<,2>定义如下：G<,1>×G<,2>具有顶点集合V(G<,1>)×V(G<,2>)，边集E(G<,1> ×G<,2>)={(u<,1>，u<,1>)(u<,2>，u<,2>)：U<,1>U<,2>∈E(G<,1>)和u<,1>V<,2>∈E(G<,2>)}第四章中我们讨论了一些图类的离散度s(G)和坚韧度t(G)主要得到了如下的结果： 1． m,n是大于或等于3的整数。那么3． m,n是大于或等于3的整数．那么第五章中讨论了一个图G的中间图(middle graph)M(G)的完整度I(G)等可靠性参数。 对一个图G，它的中间图M(G)有顶点集合v(a)U E(G)，两个顶点x和Y在M(G)里相邻当且仅当满足下面两条之一：(i)z，Y c E(G)，且x和y在G里相邻，(ii)x和y当中一个属于V(G)另一个属于E(G)，且它们在G里关联. 得到了： 1．对任意图G(a)β(M(G))=ε(G)； (b)α(M(G))=V(G)； (c)δ(G)+1≤I(M(G))ε≤G)+1； (d)，(M(G))≥1+ε(G)/v(G)+(1-1/v(G))κ(G)≥1+ε(G)/v(G)．