连通空间是重要的拓扑空间，连通性的研究是一般拓扑学的基本课题。理想拓扑空间是在一般拓扑空间中引入理想结构而形成的新的拓扑空间，它具有与一般拓扑空间相似的性质，又有其独特的性质。　　 本文研究了基于二元关系R的R-连通空间和理想拓扑空间的γI-开集。　　 本文分为三章：　　 第一章，介绍相关的背景知识。　　 第二章，利用拓扑空间上的二元关系R定义了R开集，由R开集引入了R邻域、R闭包、R内部、R隔离等概念，由此定义了R-连通空间，给出了它的刻画，研究了它的一些性质，主要结论是：命题2.4.4，命题2.4.5，定理2.4.9，定理2.4.10，定理2.4.11，定理2.4.12。　　 第三章，在理想拓扑空间中定义了γI-开集，研究了其性质，讨论了在*-极不连通空间中与pre-I-开集，semi-I-开集，stronglyβ-I-开集，α-I-开集之间的关系，主要结论是：命题3.2.3，命题3.2.6，命题3.2.7，命题3.3.3，命题3.3.8。