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正规族理论是复分析的一个经典课题.早在20世纪初,Montel就引入了亚纯函数正规族的概念,即：设F为区域D内的亚纯函数族,如果F中的任意函数列{fn},都存在子列{fn,i}在D内按球面距离内闭一致收敛到一个亚纯函数或∞,则称函数族F在D内正规(参考文献[18,37,47]).在过去的几十年里,正规族理论得到了充分的关注并取得了长足的发展.国内外许多学者,如熊庆来、庄圻泰、杨乐、张广厚、顾永兴、陈怀惠、庞学诚、Hayman、Drasin、Zalcman、Bergweiler等在这个领域做出了很多出色成果.正规族理论不仅自身具有重要的理论意义,而且在亚纯函数的模分布与辐角分布、复微分方程、亚纯函数的唯一性、复动力系统等重要领域有着广泛与深刻的应用.另外,近年来又发现一些新的角度研究正规族,如：与分担值或分担函数相关的正规族；常数换为一般的函数；(拟)正规族在值分布中的应用等.因此,目前亚纯函数正规族这一课题的研究依然相当活跃.本文对亚纯函数正规族及其应用做了进一步的研究,得到了一些有意义的结论.全文共分如下五个部分.第一章主要介绍本文所需要的一些相关的符号并对值分布理论及正规族理论中的定义、基本事实及重要的定理进行阐述.第二章中,我们主要探讨关于例外函数的亚纯函数正规定则.1979年,Gu[17]证明了：设k为正整数,F为区域D内的亚纯函数族.若对任意f∈F,f≠0,f(k)≠1,则F在区域D内正规.注1：全纯函数的情形由Miranda[26]证明.该结论被称为Gu-Miranda正规定则.最近,Chang [6]允许f(k)-1有零点,但是通过限制其零点个数,得到了如下的定理,因此改进了上面的Gu-Miranda正规定则.定理A2设k为正整数,F为区域D内的亚纯函数族.如果对任意f∈F,f≠0,f(k)-1在D内至多有k个判别零点(不计重数),则F在区域D内正规.自然地，我们考虑能否将上述定理中的常数1改为不恒为零的全纯函数?在文献[13]中,Deng-Fang-Liu证明了定理A4设k为正整数,φ(z)(≠0)为区域D内的解析函数,F为D内的亚纯函数族.如果对任意f∈F,≠0,f(k)(z)-φ(z)在D内至多有k个判别零点(不计重数),则F在D内正规.我们对此问题进一步研究,得到了如下结果.定理2.1.1设k为正整数,φ(z)(≠0)为区域D内的解析函数,F为D内的亚纯函数族.如果对任意f∈F,f≠0,f的极点重级至少为2,且f(κ)(z)-φ(z)在D内至多有k+1个判别零点(不计重数),则F在D内正规.注2：定理A4的结果是正确的,但证明欠完整(主要是忽略了G为非零常数这种情况,详见[13],P320).我们在定理2.1.1的证明过程中对此进行了完善.定理2.1.1推广改进了定理A2及Schwick[39]与Yang[48]的相关结论,也是定理A4的补充.作为应用,我们也得到了以下的两个拟正规定则.定理2.4.1设k,K为正整数,φ(z)(≠0)为区域D内的解析函数,F为D内的亚纯函数族.如果对任意f∈F,f≠0,f(κ)(z)-φ(z)在D内至多有K个判别零点(不计重数),则F在D内至多v阶拟正规.这里v=[K/k+1]为不超过K/k+1的最大整数.定理2.4.2设k,K为正整数,φ(z)(≠0)为区域D内的解析函数,F为D内的亚纯函数族.如果对任意,∈F,f≠0,f的极点重级至少为2,且f(k)(z)-φ(z)在D内至多有K个判别零点(不计重数),则F在D内至多v阶拟正规.这里v=[K/K+2]为不超过K/k+2的最大整数.上面这两个定理推广改进了Chang[6]中的相关结果.第三章中,我们考虑涉及分担函数的正规定则.正规族与分担值的关系首先是由Schwick[38]在1992年发现.2002年,Fang-Zalcman[16]证明了定理B1设k为正整数,α与b为两个非零有穷复数,F为区域D内的亚纯函数族.如果对任意f∈F,f的零点重级至少为k+1,且f=α(?)f(k)=b,则F在区域D内正规.Lei-Yang-Fang[23]在k≥2的前提下将上述定理中的常数α与b改为函数α(z)(≠0),b(z)(≠0),证明了定理B2设k≥2为正整数,α(z)(≠0),b(z)(≠0)为区域D内全纯函数,F为D内的亚纯函数族.如果对任意f∈F,f的零点重级至少为k+1,且f(z)=α(z)(?)f(k)(z)=b(z),则F在区域D内正规.很自然地我们会想到：k=1时定理B2是否成立?这里我们对此进行了研究,得到了如下结论.定理3.1.1设α(z)(≠0),b(z)(≠0)为区域D内的解析函数,且b(z)=0时α(z)≠0,F为D内的亚纯函数族.如果对任意f∈F,f的零点重级至少为2,且f(z)=α(z)(?)f’(z)=b(z),则F在D内正规.注3：定理3.1.1中的条件“δ(z)=0时α’(z)≠0”是必须的(见本文P22,例3.1.1).第四章中,我们通过减弱已有正规定则的某些条件,研究函数族在不正规点的性质,得到了一些有意义的结论.2004年,Xu[43](参见[34,36,39,42,48]等)推广改进了著名的Gu-Miranda正规定则,得到了定理C1设k为正整数,φ(z)(≠0)为区域D内的全纯函数,F为D内的亚纯函数族.若对任意f∈F,f的零点重级至少为k+2,极点重级至少为2,且f(k)(z)≠φ(z),则F在区域D内正规.定理C2设k为正整数,φ(z)(≠0)为区域D内的全纯函数,F为D内的亚纯函数族.若对任意f∈只f的零点重级至少为k+3,且f(k)(z)≠φ(z),则F在区域D内正规.定理C3设k为正整数,φ(z)(≠0)为区域D内无单零点的全纯函数,F为D内的亚纯函数族.若对任意f∈F,f的零点重级至少为k+2,且f(k)(z)≠φ(z),则F在区域D内正规.本章中,我们首先构造了一个反例(见本文P37,例4.1.1),说明定理Cl中的“极点重级至少为2”是不能去除的；定理C2中的k+3是最好的；定理C3中的“φ(z)无单零点”是必不可少的.然后我们研究了函数族在不正规点的性质,得到了定理4.1.1设k为正整数,φ(z)(≠0)为区域D内的全纯函数,F为D内的亚纯函数族,满足：对任意f∈F,f的零点重级至少为k+2,f(k)(z)≠φ(z).若F在z0∈D处不正规,则z0一定是φ(z)的单零点,且存在δ>0,{fn}(?)F使得在△(z0,δ)={z：|z-z0|<δ}内fn(z)=(z-ηn)k+2/(z-⒕n)fn(z),这里(ζn-z0)/ρn→—c,(ηυ—z0)/ρn→—(k+2)c，ρn→0为正数列,c(≠0)为常数.进一步地,fn(z)在△(z0,δ)内全纯且非零,fn(z)在△(z0,δ)内内闭一致收敛到f(z),f(z)满足[(z-z0)k+1f(z)](k)(?)φ(z).注4：定理4.1.1说明我们关于定理C1-C3的反例(见本文P37,例4.1.1)在某种程度上是唯一的.2006年,Huang-Gu[21](参见Yuan-Fang[15])证明了定理C6设α(z)(?)≠0),b(z)为区域D内两个全纯函数,F为D内的亚纯函数族.如果对任意f∈F,都有(1)α(z)=0时f(z)≠∞,(2)f’(z)-α(z)f2(z)≠b(z),且(3)f(z)的极点重级至少为4,则F在区域D内正规.注5：在文[21]中有例说明定理C6中的条件(1)是必须的.本文中,我们构造了一个反例(见本文P46,例4.2.1),说明定理C6中的条件(3)是必要的,同时证明了如下结论.定理4.2.1设α(z)(≠0),b(z)为区域D内的解析函数,F为D内的亚纯函数族,满足：对任意f∈F,f的极点重级至少为3,f’(z)-α(z)f2(z)≠b(z),且α(z)=0时f(z)≠∞.若F在某点z0∈D不正规,则z0一定是α(z)的单零点,且存在δ>0,{fn}(?)F使得在△(z0,δ)={z：|z-z0|<δ}内fn(z)=z-ηn/(z-ζn)fn(z),这里(ζn-z0)/ρn→—c,(ηn—z0)/ρn→3c,ρn→0为正数列,c(≠0)为常数.进一步地,fn(z)在△(z0,δ)内全纯且非零,fn(z)在△(z0,δ)内内闭一致收敛到f(z),f(z)满足Riccati微分方程ω’(z)=(z-z0)2b(z)+2/z-z0ω(z)+a(z)/(z-z0)2ω2(z).注6：定理4.2.1说明我们关于定理C6的反例(见本文P46,例4.2.1)在某种程度上是唯一的.从定理4.2.1,我们还得到了下面两个新的正规定则,它们可看作定理C6的补充.定理4.2.2设α(z)(≠0),b(z)为区域D内的解析函数,F为D内亚纯函数族.如果对任意的f∈只都有(1)α(z)=0时,F(z)≠∞,(2)f’(z)-α(z)f2(z)≠b(z),(3)f(z)的极点重级至少为3,零点重级至少为2,则F在D内正规.定理4.2.3设α(z)(≠0),b(z)为区域D内的解析函数,且α(z)无单零点,F为D内亚纯函数族.如果对任意的f∈F,都有(1)α(z)=0时,f(z)≠∞,(2)f’(z)-α(z)f2(z)≠b(z),(3)f(z)的极点重级至少为3,则F在D内正规.第五章中,我们建立了一个新的亚纯函数拟正规定则，并给出了其关于Hayman选择的一个应用.最近,Chang[5]证明了如下拟正规定则,推广了Bergweiler[2]等人的相关结论.定理D4设F为区域D内的亚纯函数族.若对任意f∈F,f’(z)≠1,且存在常数K>0使得f(z)=0时|f’(z)|≤K,那么,在区域D内为1阶拟正规.我们将上定理推广到了k阶导数的情形,证明了定理5.1.1设k≥2为正整数,F为区域D内亚纯函数族.如果对任意f∈F,f的零点重级至少为k,f(k)(z)≠1,且存在常数K>0使得f(z)=0时|f(k)(z)|≤K,那么F在D内为1阶拟正规.注7：定理5.1.1也推广了Xu-Fang[46]与Nevo-Pang-Zalcman[29]等人的相关结果.下面是著名的Hayman选择[18](参见[19,37]),它是Hayman不等式的直接推论.Hayman选择若f为超越亚纯函数,k为正整数,则或者f有无穷多个零点或者f(k)取任意非零有穷复数无穷多次.Wang-Fang[42]应用Nevanlinna理论证明了以下定理.定理D5设k为正整数,f为超越亚纯函数.若f的零点重级(可以有有限个例外)至少为3,则f(k)取任意非零有穷复数无穷多次.对k=1的情形,Nevo-Pang-Zalcman [29]应用拟正规证明了定理D6若f为只有有限个单零点的超越亚纯函数,则f’取任意非零有穷复数无穷多次.Chang[5]进一步得到定理D7设f为超越亚纯函数.若存在常数K>0使得f(z)=0时|f’(z)|≤K,则f’取任意非零有穷复数无穷多次.上结果改进了定理D6,同时也证实了Bergweiler[2]的一个猜想.本章中,作为定理5.1.1的应用,我们证明了如下结论.此结果在k=2的时候推广改进了Hayman选择与定理D5,在某种程度上也推广了定理D7.定理5.4.1设f为只有有限个单零点的超越亚纯函数.如果存在常数K>0使得f(z)=0时|f”(z)|≤K,那么f”取任意非零有穷复数无穷多次.