期权作为金融工程领域中最重要的衍生产品，种类繁多，品种各异。除了极少数标准的欧式期权具有解析解以外，其他大多数期权的价格都只能通过数值求解得到。本文应用迦辽金有限元方法进行不同种类的期权数值定价以及美式期权自由边界求解的计算研究。定价研究的对象包括四种不同的期权，即单资本期权、双资本篮子期权、连续算术平均亚式期权和离散算术平均亚式期权。在每一种期权中，还包括欧式、美式、看涨、看跌等各种类型。 计算探讨了单资本期权有关的风险控制参数Delta、Theta、Vega和Rho，数值比较了美式期权和欧式期权中这些参数的异同。并对单资本美式期权的定价和自由边界的确定进行了方法探索性的研究，为进一步求解双变量美式期权自由边界问题打下基础。 双资本篮子期权是本论文研究的第一个双变量期权定价方程，通过建立其二维有限元模型，计算探讨了三角形和四边形平面单元对定价精度的影响，以寻求最优的单元形式。特别需要指出：由于采用局部加密网格这一有限元最具特色的离散方案，精度和收敛性显著改善，比获得同样精度的均匀网格方案要少用很多节点和单元，从而节省了计算时间。这部分的研究成果对亚式期权的研究具有非常好的指导意义。 论文尤其对亚式期权的有限元法定价算法进行了较深入的计算研究，研究的亚式期权对象，既有欧式的，也有美式的；既有基于固定执行价格型的，也有基于浮动固定执行价格型的。采用不同有限元离散网格模型，尤其是局部加密网格模型，结合不同的时间差分格式进行了精度和收敛性的计算研究。探讨了求解域的截取，单元密度等对定价精度的影响。此外，对美式—亚式期权定价问题的自由边界进行了数学描述并进行了数值求解确定，结果表明有限元法能有效地确定美式—亚式期权的自由边界。 本文通过大量期权算例的测试，计算分析了有限元法进行不同种类的期权定价的精度和收敛性，以及局部加密网格模型对改善定价精度的影响。计算结果充分表明了有限元法是一种具有良好精度和收敛性的有效的数值定价方法。