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考虑带有临界指数增长项的Kirchhoff型方程｛-(a+6∫Ω|▽u|2dx)△u=f（x，u）+u5,x∈Ω,u=0,x∈(a)Ω，(1)其中Ω是R3中一个非空有界开集有足够光滑的边界(a)Ω，a≥0，b＞0，且f(x，t):(Ω)×R是一个连续函数.
对于退化的Kirchhoff型方程，我们利用变分方法，对能量泛函进行上界估计和局部的(PS)条件的证明，最后利用山路引理得到了如下结论.
定理1假设a=0，b＞0及（f1）f∈C(Ω×R+，R)和limt→0+f(x,t)/t3=0，limt→+∞f(x,t)/t5=0关于几乎处处x∈Ω一致成立.（f2）存在常数ρ，ρ＞4，使得0＜ρF(x，t)≤f(x，t)t对于x∈Ω，t∈R+{0}成立(其中F(x，t)是f(x，t)关于t的原函数，即F(x，t)=∫t0f(x,s)ds对于x∈Ω及t∈R）.
那么方程(1)至少有一个正解.
利用相似的方法，我们可以得到非退化情况下，有如下结论.
定理2假设a＞0，b＞0及(f1)f∈C(Ω×R+，R)和limt→0+f(x,t)/t=0，limt→+∞f(x,t)/t5=0关于几乎处处x∈Ω一致成立.（f2）存在常数ρ，ρ＞5，使得0＜ρF(x，t)≤f(x，t)t对于x∈(Ω)及t∈R+(0)成立.那么方程(1)至少有一个正解.
考虑下面的Kirchhoff型方程｛-(a+6∫Ω|▽u|2dx)△u=f(x，u),x∈Ω,u=0.x∈(a)Ω，(2)其中Ω是RN的非空有界开集，a，b＞0，f(x，t):(Ω)×R连续函数且是次临界增长的，即存在正常数C，使得|f(x，t)|≤C(|t|p-1+1),2＜p＜2*=｛2N/N-2,N≥3∞，N=1，2.(3)
对于如下非线性问题的特征值｛-(∫Ω|▽u|2dx)△u=μu3,x∈Ω,u=0，x∈(a)Ω.且记最小的特征值为μ1.
我们利用山路引理，对于超线性增长的情况得出如下结论.定理3假设f∈C(Ω×R，R)且满足(3)及(F3)lim|t|→∞infF(x,t)/t4＞bμ1/4关于几乎处处x∈Ω一致成立.（F3）lim|t|→∞(1/4f(x，t)t-F(x,t)+aλ1/4t2）=+∞关于几乎处处x∈Ω一致成立(其中λ1是(一△，H10(Ω))的首特征值）.(R)存在λ＜λ1，使得当|t|很小时，有F(x，t)≤aλ/2t2成立.那么方程(2)至少有一个非平凡解.