在凝聚态物理领域,物质根据不同的物理属性可以划分不同的物态,如固态,液态,气态,等离子态等等,随着量子霍尔效应的深入研究,人们发现这是一类具有拓扑属性的新的物态,在近几十年,关于拓扑量子相变和与拓扑相关的物理已经取得了很深入的进展与突破。拓扑量子相变与一般的量子相变不同,拓扑量子相变是拓扑序的相变(序参数是某种拓扑不变量),而一般的量子相变对应某种对称破缺(序参数表现为某种物理量,如磁化率表示磁性物质的序参数,规范势表示超导的序参数等),所以自旋对称破缺表现为磁性,规范对称破缺表现为超导等等。非平凡的拓扑态区别于平凡的拓扑态,平凡的拓扑态就是一般的常规绝缘态。一般意义上讲,某一体能带的拓扑特性可以用拓扑不变的陈数(Chern number)刻画。1988年,F. M.Haldane首先提出一个在六方格子上二能带拓扑量子相变模型。当下面的能带完全被电子填满后,那么下面体能带的陈数就是C=±1。随后,类似Haldane模型的二维格子的拓扑量子相变及拓扑平坦能带引起人们的很大兴趣,如Lieb晶格、Kagome晶格、checkerboard晶格、square-octagon晶格和Ruby晶格等。这为研究拓扑量子相变提供了具体的格子模型。使抽象的拓扑量子相变用相变演化图形象的展示出来。在这篇文章里,我们讨论了二维star晶格加入交错磁通时拓扑量子相变的主要过程,画出了晶格的能谱,态密度,霍尔电导,边界态能谱以及拓扑平坦能带并用严格对角化方法发现了1/2分数量子霍尔效应,它的一个重要特征就是基态有两重准简并态。具体我们研究了在star晶格中次近邻跳跃积分t2变化时拓扑量子相变的过程和加入第三近邻邻跳跃积分t3后调成的拓扑平坦能带。当最近邻磁通=0.5π固定时,t2从0.0-1.0变化时,发生了拓扑量子相变。六个能带陈数的变化从c={+1,0,0,0,0,-1}至C={-1,+2,0,-2+1},再到C={-1,-1,+3,-3,+1,+1}。六个能带陈数的变化过程中有两个拓扑量子相变的临界点和一个能带的重叠区。当三个参数在某一范围内取一定的值时,就能够得到拓扑平坦能带,例如当t2=0.3,t3=-0.25,φ=0.6π,时可得到陈数为C=-1并且平坦度(两个能带的能隙与拓扑平坦能带的宽度的比值)可以高达85的拓扑平坦能带,在这一组参数下,我们画了三种格子体系在每个动量空间的几个最低能量状态,我们发现,在三种格子体系中都有明显的二重准简并的基态,与上面的激发态能量之间有一个很大的能隙,这是实现很强健的1/2分数量子霍尔效应的重要特征。这为分数量子霍尔效应的研究提供了另一种方法,同时又加深了对分数量子霍尔效应的理解。该硕士论文的主要成果已发表(Phys. Rev B,第一作者)。