本文考虑了R³中向量场导数的Sobolev范数估计,通过向量场的Hodge分解定理,导出了向量场导数不仅与向量场的散度,旋度,边界上的切向分量或法向分量相关,还与区域的拓扑结构有密切关系.结论是下面两个定理:设G是R³中有界开集,（?）G∈C^k+4,u∈C^k+1+α（?）,1<p<∞,k≥0为整数,v是（?）G上的单位外法向量.定理0.1设G的第二Betti数为m,m<∞,则存在依赖于p,G的常数C,有下述估计:这里g_i是L^p（（?）G）上的某个给定的线性泛函.定理0.2设G的第一Betti数为n,n<∞,则存在依赖于p,G的常数C,有下述估计:其中B_i是L^p（（?）G）上的某个给定的线性泛函.另外一方面,当向量场的第一Betti数与第二Betti数有界时,有下面的两个估计:此外,本文还考虑了下述泛函:对一些特殊区域,讨论了上述泛函在空间{u∈H¹（G）{0},v×u=0}中的极小化问题.