正规形理论是研究系统在不动点附近性态的有效工具,对动力系统理论的研究有重要意义。它的思想起源于Poincare,通过找到一个与给定向量场或映射拓扑结构一致的最简向量场或映射,从而达到对复杂问题进行简化的目的。在解决正规形问题的过程中常常会涉及到上同调方程,同时该类型的方程在动力系统的其他理论中也有重要应用。因此本文将主要研究正规形问题和上同调方程问题。著名的Hartman-Grobman定理证明了双曲系统在它的不动点附近拓扑等价于它的线性部分。该定理把双曲非线性系统等价为线性系统,这是最简单的正规形结果。然而非双曲系统的研究相对于双曲系统来说较为更复杂,就目前研究结果来看针对二维的幂一情形已有较为满意的结果。然而三维情形下的相关结论到目前为止仍有改进空间,因此本文将考虑三维幂一映射在不动点附近的正规形。此外,本文还将利用泛函分析相关理论解决相关上同调方程的光滑解问题。全文主要分为两个部分:第一部分,考虑三维映射在不动点附近的正规形问题。在经典的正规形理论中,人们采取的有效办法是利用近似恒同的多项式变换去依次消掉系统的高阶项,得到形式正规形。这一部分我们将利用该思想进一步考虑幂一情形下三维映射相对以往结果更为简单的正规形。第二部分,考虑上同调方程的C1与C2解问题。我们将通过一类上同调方程构造出特定的映射,使其转化成两个一般性的泛函方程,这样就将求解上同调方程的光滑解问题转化为求解一般性泛函方程的光滑解问题。