非线性Schr¨odinger方程是量子力学中的基础数学模型,也是数学物理中最具吸引力的研究课题(见[2, 26, 66]等).非线性Schr¨odinger方程是一类典型的色散方程,它从数学角度揭示了色散与非线性两种作用之间的相互关系.同时,作为最重要的一类偏微分方程它也一直是核心数学的重要部分.近30年来,围绕非线性Schr¨odinger方程的数学研究进入了一个非常丰富的时期.从Segal提出非线性半群理论[50]开始,关于次能量临界非线性Schr¨odinger方程的研究取得了一系列重要成果. Ginbre和Velo在能量空间建立了其Cauchy问题的局部解的存在性理论[21, 22].随后基于调和分析对其整体解的存在性和渐近性质特别是散射性质的研究出现了大量深刻的结果(见[8, 13, 60]等).关于次能量临界非线性Schr¨odinger方程解的爆破性质的研究从Glassey导出的充分条件[25]到Ogawa与Tsutsumi所作出的重要改进[43, 44]再到最近Merle和Rapha¨el关于爆破解的动力学性质的一系列重要结果[41, 42]也取得了非常明显的进展.而关于次能量临界非线性Schr¨odinger方程驻波解的存在性与稳定性的研究则可见Cazenave和Lions[15]及Struass等学者标志性的工作[27, 28].与此密切相关的关于次能量临界非线性Schr¨odinger方程解整体存在和在有限时间内爆破的最佳门槛研究也取得了一系列的成果[65, 69–71].对于能量临界非线性Schr¨odinger方程,在1990年, Cazenave和Weissler[14]给出了Cauchy问题的局部适定性.可以看到能量临界非线性Schr¨odinger方程与次能量临界非线性Schr¨odinger方程有着显著的差异,这给关于它的研究带来了新的困难.在非线性项为排斥的情况下,能量临界非线性Schr¨odinger方程整体解的存在性以及散射性质的研究取得了一系列的成果,见Bourgain[7], Tao[19, 59]等.在非线性项为吸引的情况下, Kenig和Merle在文[32]中研究了其Cauchy问题整体解的存在性以及散射性质,同时也研究了解在有限时间内的爆破性质;Duyckaerts和Merle在文[20]中给出了其Cauchy问题显示基态解的一个动力学刻画.对于既含有次能量临界项又含有能量临界项的非线性Schr¨odinger方程,本文中我们称之为能量临界情形的非线性Schr¨odinger方程,在3维空间中X.Zhang[72]研究了能量临界情形的非线性Schr¨odinger方程的Cauchy问题的全局适定性,解的散射性质以及解在有限时间内的爆破性质. Tao, Visan和X. Zhang在文[62]中研究了其Cauchy问题局部适定性和全局适定性,解在有限时间内的爆破性质以及解的渐近行为.可以看出对于能量临界情形的非线性Schr¨odinger方程,由于其含有能量临界非线性项,这导致局部解的存在时间不是依赖于解的H1范数而是依赖于解的时空估计;又由于其含有次能量临界扰动非线性项,导致其失去了尺度变换的不变性.同时我们知道,当能量临界非线性项为吸引的情况时,对于某些初值尤其是小初值,该方程的解整体存在;对于某些初值尤其是大初值,该方程的解会在有限时间内爆破.因此,本文主要研究的是能量临界情形的非线性Schr¨odinger方程的Cauchy问题在其初值处于亚能量和临界能量时解爆破和整体存在的最佳门槛.我们知道,对于研究次能量临界非线性Schr¨odinger方程的解整体存在和爆破的最佳门槛, J. Zhang以变分法为基础建立了一套成熟的工作框架并得到了一系列的结果[17, 67–71].但是这个方法并不能完全用于能量临界情形的非线性Schr¨odinger方程.尤其是在讨论解的整体存在性时,变分技术遇到了相当大的困难.因此,我们引入Strichartz估计,运用近似逼近的方法证明整体解的存在性.我们将次能量临界非线性项|u|p?1u看作是能量临界非线性Schr¨odinger方程的扰动,运用长时间扰动定理(见Tao和Visan[61])得到整体解的存在性.而在讨论解在有限时间内的爆破性质时,在J. Zhang所建立的变分框架下,借助于Ogawa和Tsutsumi在文[43, 44]的一些技巧,得到解在有限时间内的爆破性质.因此,本文主要运用J. Zhang所提出的以变分法为基础的工作框架与调和分析中的Strichartz估计相结合的方法得到能量临界情形的非线性Schr¨odinger方程Cauchy问题在其初值为亚能量和临界能量时解爆破和整体存在的最佳门槛.本文的结构安排如下:第一章介绍了方程的相关物理背景、已有研究状况,本文需要解决的问题以及本文研究的主要结果.第二章研究了能量临界情形的非线性Schr¨odinger方程对应的Cauchy问题的初值在亚能量时解爆破和整体存在的最佳门槛.通过分析这个方程的变分结构,建立所谓的发展不变流.通过近似逼近的方法结合能量临界非线性Schr¨odinger方程的性质以及局部发展不变流的性质得到了其Cauchy问题初值在亚能量时解爆破和整体存在的最佳门槛.而且,也得到了其Cauchy问题初值在亚能量时整体解存在的充分条件,即回答了初值多小的时候其Cauchy问题的解整体存在.第三章研究了能量临界情形的非线性Schr¨odinger方程对应的Cauchy问题的初值在临界能量时解爆破和整体存在的最佳门槛.通过分析这个方程的变分结构,建立所谓的发展不变流,得到其Cauchy问题初值在临界能量时解在有限时间内爆破的充分条件.再通过近似逼近的方法结合能量临界非线性Schr¨odinger方程的性质,得到其Cauchy问题初值在临界能量时解整体存在的充分条件.最后经过综合分析得到其Cauchy问题初值在临界能量时解爆破和整体存在的最佳门槛.第四章运用变分法研究能量临界情形的非线性Schr¨odinger方程.通过分析其Hamiltonian的性质,建立起一个所谓的发展不变流,然后得到解在有限时间内爆破的充分条件.第五章研究具扰动项的Hartree型方程.通过建立所谓的交错强制变分问题得到该方程解爆破和整体存在的最佳门槛,同时也得到了该方程的驻波的强不稳定性.