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本文主要研究如下形式的非经典反应扩散方程的初边值问题{ut-△u-△ut+f(u)=g(t),x∈Ω,t＞ι∈Ru(x,t)=uι(x),x∈Ω,t≤ι,u|(e)Ω=0,t＞ι,(1)解的存在性及渐近性行为,其中Ω(∈)R3为具有适当光滑边界的有界域,非线性项f满足适当的增长条件.
方程(1)作为非经典反应扩散方程,一般存在于流体力学、固体力学和热传导过程中,具有非常广泛的实际背景.方程(1)与经典的反应扩散方程有着本质的区别,方程中的△u和△ut均为耗散项.讨论系统(1)的整体强解的长时间行为必要克服如下三个困难:其一,由于带有△ut项,使得(1)不具有一般的反应扩散方程的“高正则性”,因而不可以用Sobolev嵌入定理获得系统的紧性;第二,由于考虑非线性项超临界指数增长,使得问题更加困难;最后,依赖时间的外力项g(x,t),我们仅假设为平移有界函数,而非平移紧或正规函数,因此无法获得其符号空间的紧.
在第三章我们利用Galerkin方法结合能量估计,研究非自治情形下非经典反应扩散方程整体强解的存在性、唯一性以及解对初值的连续依赖性.
在第四章中讨论有界域上非自治的情形下系统(1)整体强解的长时间行为.我们通过验证一致(C)条件,证明系统(1)整体强解对应的解过程族在H2(Ω)∩H10(Ω)中是一致ω-极限紧的,从而获得到系统(1)在H2(Ω)∩H10(Ω)中一致吸引子的存在性,其中依赖时间的外力项不是平移紧的。