【摘 要】
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本文主要研究几类对称图的弧传递循环和亚循环正则覆盖及其相关问题.刻画对称图的正则覆盖是代数图论的基本问题之一,它常常是刻画一般对称图的关键环节（正则覆盖的定义见第二章）.经过众多学者的努力,已经建立了一套研究正则覆盖的电压图理论.这个理论对于确定小阶数对称图的循环和初等交换正则覆盖通常是有力的.利用这个理论,众多小阶数对称图的边传递或弧传递循环和初等交换正则覆盖被完全分类.此外,两类对称图类K。和
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本文主要研究几类对称图的弧传递循环和亚循环正则覆盖及其相关问题.刻画对称图的正则覆盖是代数图论的基本问题之一,它常常是刻画一般对称图的关键环节（正则覆盖的定义见第二章）.经过众多学者的努力,已经建立了一套研究正则覆盖的电压图理论.这个理论对于确定小阶数对称图的循环和初等交换正则覆盖通常是有力的.利用这个理论,众多小阶数对称图的边传递或弧传递循环和初等交换正则覆盖被完全分类.此外,两类对称图类K。和Kn,n-nK2（其中n为正整数）的具有高对称性（2-弧传递）的循环和部分初等交换正则覆盖被确定.但是,迄今得到的结果基本都具有以下特征：（1）.主要是刻画“小阶数”对称图的“交换”（主要是循环和初等交换）正则覆盖.（2）.图的无穷类的正则覆盖结果还很少,且基本上都是在具有高对称性（2-弧传递）的假设下完成的.因此,刻画小阶数对称图的“非交换”正则覆盖和图的无穷类的具有较弱对称性（如：边传递或弧传递）的正则覆盖就成为了很有意义的研究课题.本文将对这两个方面的问题进行研究.具体的,本文完成了以下工作：1.分类了所有二倍素数阶的素数度对称图的弧传递循环和部分亚循环正则覆盖.注：二倍素数阶的素数度对称图包括了著名的Petersen图,Heawood图等小阶数的对称图,两个对称图的无穷类：完全图K2p（其中p和2p-1都为素数）和完全二部图Kp,p（其中p为素数）,和二面体群上的一类正规Cayley图.2.完全确定了Petersen图的边传递亚循环正则覆盖（共包含7个具体的对称图）.注：本文1和2中的研究结果推广了系列已知的结果.3.为了更好地研究交换群上的Cayley图,我们完全确定了包含传递交换子群的几乎单和M-传递置换群（这一问题在置换群论中也是很有意义的）,部分推广了Praeger和Li的相关重要结果（注：一个置换群称为M-传递,如果它有一个传递的极小正规子群）.4.得到了四倍素数幂阶的五度对称图的刻画.特别地,证明了当p为大于3的素数时,不存在4pn阶的五度对称图,从而将4pn阶的五度对称图的研究归约为p=2和3的情形.
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