【摘 要】
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单参数Lucas序列Un=Un（u）和Vn=Vn（u）定义为：U0=0,V0=2,U1=1,V1=u,Un=uUn-1-Un-2,Vn=uVn-1-Vn-2,n≥2.该序列在数论中有广泛应用。张振祥在文“Using Lucas sequences to factor large intcgets near group orders”[Fibonacci Quarterly，Vol．39，2001，
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单参数Lucas序列Un=Un（u）和Vn=Vn（u）定义为：U0=0,V0=2,U1=1,V1=u,Un=uUn-1-Un-2,Vn=uVn-1-Vn-2,n≥2.该序列在数论中有广泛应用。张振祥在文“Using Lucas sequences to factor large intcgets near group orders”[Fibonacci Quarterly，Vol．39，2001，pp．228-237；MR 2002c：11173]和文“A one-parameter quadratic-base version of ttle Baillie-PSW probable prime test”[Math．Comp．，Vol．71，2003，pp．1699-1734；MR 2003f：11191]中，以Lucas序列为主要工具分别给出了一个整数分解方法和一个素性测定方法。其中在前一篇文章中讨论了这样的一类整数分解问题：N=pq是两个奇素数之积，q=k（p+1）+r,|r|＜（p+1）/2,k≥7,（（u2-4）/p）=-1且gcd（u，N）=1=gcd（u2-4，N）。 在利用Lucas序列分解这类整数N时，需要估计同余式组解的情况。一般说来，使得上述同余式组成立的u的个数越多，N越容易被分解。要分解N，一般要计算UN+r（u）和VN+r（u），张在文中猜测可能会发生以下情形：UN+r（u）（?）0 mod N但VN+r（u）≡2 mod N。在利用Lucas序列时，快速计算Un（u）和Vn（u）是一个关键问题。通常的算法是把n表示成二进制的形式，即n=bt2t+bt-12t-1+…+b12+b0，其中t=[log2n],bt=1，bi=0或1，0≤i≤t-1，然后进行迭代计算。另外的算法是把n表示成2k进制的形式，即n=dtmt+dt-1mt-1…+d1m+d0，其中k=[1/2 log2log2n]，m=2k＜log1/2n，t=[logmn]，dt≥1，0≤di＜m，0≤i＜t-1，然后进行迭代计算。 本文首先给出上面提到的同余式组成立的几个充要条件，从而对张在文中的猜测给出否定的回答，即在用Lucas序列来分解这类整数时，只要计算VN+r（u），而不需要计算UN+r（u）。然后得到满足这几个同余式组的u的个数的上界分别为N／6和M／2。最后给出了实现这两个计算Un（u）和Vn（u）算法的实例比较，得出这两个算法快慢关键在于n在二进制表示下1的个数，1的个数越多，第二个算法越显得比第一个算法优越。
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