【摘 要】
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近年来,对椭圆型微分方程及其反问题的研究已经渗透到各个领域,在静热力学、等离子体物理、机械工程、心电图及腐蚀的无损评定等方面有广泛的应用,受到越来越多数学家和工程师的关注.本文研究由椭圆型方程控制的Cauchy反问题,即从可测量边界上的Cauchy数据恢复不可测量边界上的Cauchy数据。众所周知,Cauchy问题具有严重的不适定性.Tikhonov正则化是稳定求解反问题的一类简单而有效的方法.不
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近年来,对椭圆型微分方程及其反问题的研究已经渗透到各个领域,在静热力学、等离子体物理、机械工程、心电图及腐蚀的无损评定等方面有广泛的应用,受到越来越多数学家和工程师的关注.本文研究由椭圆型方程控制的Cauchy反问题,即从可测量边界上的Cauchy数据恢复不可测量边界上的Cauchy数据。众所周知,Cauchy问题具有严重的不适定性.Tikhonov正则化是稳定求解反问题的一类简单而有效的方法.不同的重构框架体现为使用不同的数据匹配项或正则范数.本论文首先考虑基于耦合复边界法(CCBM)的目标泛函.它是一种区域匹配类型的泛函.在CCBM中,所有的Cauchy数据,都被整合成复的Robin边界条件.从而,Cauchy问题被转化成复的反问题:求不可测量边界上的未知数据使得正问题的解的虚部在区域内部为零.然后,Tikhonov正则化被用于新的模型.与前人工作相比,CCBM将Dirichlet和Neumann数据都作为Robin边界条件的一部分,降低了对数据的正则性要求.而且,数据都是作为边界条件,而不是要匹配的值,让问题变得更稳定.由于正则化参数对正则解影响非常大,其值需合适地选择.为此,本文构造参数依赖的CCBM.改进后CCBM的最大优点是:只要按一定规则选取所引入的参数,正则解关于正则化参数是一致的,因而不需要考虑正则化参数的选择,选一个足够小的正则化参数值就能得到一个合理的近似解.这解决了Cauchy反问题中一直存在的正则化参数选择问题.另外,本论文还研究了通过线性的Cauchy反问题来研究非线性的Robin反问题,避免了问题的非线性性.本文利用伴随技巧和有限元方法对所提模型进行数值求解.数值例子表明,本论文的方法是可行、有效的.
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