本文旨在研究四阶椭圆方程解的正则性,Allen-Cahn等椭圆型方程单调解和稳定解的性质及多项式映射的单射性质等内容。首先,我们考虑四阶椭圆方程的解及梯度模的有界性。基于新的三维整体积分估计和解的内点估计,本文得到了某类四阶椭圆方程在任意三维有界区域中解及梯度模是有界的。对于四阶椭圆方程在更高维时,解是有界的这个公开问题,在某个假设条件下,得到了高维时新的整体积分估计。然后,本文研究与De Giorgi猜想有关的内容。我们构造了一个新函数,得到了经典刘维尔定理中一个新的能量上界。也将经典刘维尔定理推广成一般的某类拟线性的刘维尔定理。本文也得到了其他若干关于能量的结果。对于分数阶的De Giorgi猜想,本文通过构造新的单参数函数族,可以得到稳定解的扰动估计式,再通过精细地计算可建立新的刘维尔定理,该定理可以判定:如果在球上的分数阶的Sobolev能量不超过某个值时,该方程的稳定解一定是一维解。然后通过建立新的推广了的插值估计,可以得到稳定解的能量上界估计。为了研究1/2阶方程的稳定解在四维以上也是一维解,我们对扰动估计式已经做出部分改进。为了研究其他分数阶的稳定解在三维时也是一维解,我们对一般分数阶的问题,给出了一些傅里叶变换的估计式,改进了能量估计。最后,探索性地研究自同构多项式映射。对于一般的多项式映射,我们通过对Spec（F）分析,给出了在某些简单条件下,得到该多项式是单射的。本文也研究了在二维中局部可微同胚映射F的整体单射性和Spec（F）趋于零的速率之间的关系。