【摘 要】
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张量是矩阵的高阶推广,可视为由多个矢量空间的张量积构成,张量分解主要包括张量的秩分解和张量的奇异值分解,它们分别是矩阵秩-1分解和矩阵奇异值分解的高阶情形下的推广。
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张量是矩阵的高阶推广,可视为由多个矢量空间的张量积构成,张量分解主要包括张量的秩分解和张量的奇异值分解,它们分别是矩阵秩-1分解和矩阵奇异值分解的高阶情形下的推广。高阶张量不仅可以用于表述大规模高维数据,且能刻画数据点间的结构关系。张量分解是分析高维数据的有力工具。本文首先介绍有关张量的基本概念、张量的基本运算、张量的低秩逼近及部分特殊结构张量,如实对称张量、半正定(正定)张量等;其次论文引进Hankel张量和Vandermonde张量;论文还根据矩阵的Kronecker积和Tucker分解方法得出核心张量及其矩阵展开形式,并根据矩阵低秩逼近推广到高阶张量的低秩逼近。最后,论文结合主成分分析(PCA)和二维主成分分析方法,从均方误差准则下Tucker分解的三维主成分分析(3DPCA)方法和基于均方误差下核心张量切片方法两个方面,对三阶张量的特征提取进行验证。结果表明,这两种方法都能对三阶张量的特征进行提取。本文除了介绍PCA、2DPCA等常见方法及其在统计学中的应用外,主要介绍了高阶张量的一些基本概念,引进了张量奇异值分解和核心张量切片法,验证了张量基矩阵间的正交关系;根据二维主成分分析模型及张量奇异值对应的核心张量,建立张量统计模型。最后将该张量统计模型运用于手写字体(阿拉伯数字)的识别。实验发现,该模型测试准确率相比现有统计模型(矩阵统计模型等)有较好的改进,识别效果明显优于2DPCA模型。
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