理性有限元法是以位移形式的齐次微分控制方程的基本解作为插值函数,直接在物理域内列式,在单元级别考虑分片试验的要求并进行修正。避免了传统方法对物理问题和数学问题的割裂,具备更清晰的力学含义。由于舍弃了有限元的等参技术,并采用弹性力学方程组的线性无关解对单元的位移场和应力场同时进行插值,这一方法大大地提高了应力场、应变场的数值稳定性和精度。本文首先从泛函和逼近论等角度,简要地说明了理性有限元法的基本思路和工作流程。由于理性有限元的特点是在单元内部采用解析基本解作为插值函数,因此特别选取具有明确物理意义的解析基本解作为插值函数。由于理性有限元法本质上属于非协调元,因此,需要通过分片试验的要求。通过对现有几种C0分片试验提法的分析,本文采用单元级别分片试验的提法,对单元刚度阵进行检验,并根据检验结果,对单元刚度阵进行了正交化修正,使单元的收敛性得到保证。本文介绍了平面各向异性理性单元的构建方法。通过对平面各向异性问题解析基本解的合理选择,所选择的插值函数具备明确的力学性质。在生成单元广义刚度阵时,解析地完成了插值函数的积分。单元刚度阵的生成,充分的考虑了单元级别分片试验的要求,通过正交化修正单元刚度阵,使得平面各向异性理性单元的收敛性得以保证。本文还发展了空间各向异性理性单元,提出了构建完备解析解的方法,对解析单元刚度阵的生成过程做出了详细研究。采用解析方法对插值函数进行积分,使得广义刚度阵的元素均为单元几何性质与物理参数的函数,充分体现了本方法的理性特点。在分片试验和正交化修正过程中,本文对单元集约节点力向量的生成做了研究,通过虚位移原理和等参思想,推导得到了六面体单元的集约节点力向量。本文构建了各向异性平面问题分析的四节点、五节点、八节点、九节点等四种平面理性四边形单元,和各向异性空间问题分析的八节点、二十节点等两种空间六面体单元。本文所提供的数值实验表明,上述各向异性理性有限元具有较高的求解精度和良好的数值稳定性,并对网格畸变有很好的适应性,是各向异性弹性问题数值分析的一种有效求解方法。