【摘 要】
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长期以来,子群的性质与有限群结构的关系是有限群论研究的重要课题之一.本文主要研究超可解子群的个数和超可解子群共轭类的个数,以及子群的自同构导子对有限群可解性的影响.
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长期以来,子群的性质与有限群结构的关系是有限群论研究的重要课题之一.本文主要研究超可解子群的个数和超可解子群共轭类的个数,以及子群的自同构导子对有限群可解性的影响.本文的前两章为引言和预备知识,主要介绍了研究背景和所需的一些基本概念与基本引理.第三章共分两个部分:在第3.1节中,通过研究超可解子群的个数和超可解子群共轭类的个数对有限群可解性的影响,并利用极小阶反例法以及极小单群的结构,得到了群可解的若干充分条件以及相关结构.具体结果如下:定理3.1.1设G为有限群,δ(G)表示G的超可解子群的个数.(1)如果δ(G)<53,则G可解.(2)G是非可解群且δ(G)=53当且仅当G(?)A5.定理3.1.2设G为有限群,τ(G)表示G的超可解子群共轭类的个数.(1)如果τ(G)<7,则G可解.(2)G是非可解群且τ(G)= 7当且仅当G(?)A5.第3.2节,主要讨论了 Sylow子群的自同构导子对有限群结构的影响,得到了有限群可解的一个充分条件,部分解决了 Deaconescu和Walls提出的问题,即描述Sylow子群的自同构导子是小的有限群的结构.具体结果如下:定理3.2.1设有限可解群G的Sylow子群的自同构导子是小的,则G是幂零群.定理3.2.2设有限群G的Sylow子群的自同构导子是小的,则G是可解群.
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