多重网格法是求解偏微分方程大规模离散化方程的最为有效的方法，粗略地讲，它可分为几何多重网格法和代数多重网格（AMG）法。这里，我们将结合几何和代数两种途径来研究多重网格法，并称之为所谓的基于几何和分析的代数多重网格法，这是目前国际上代数多重网格法研究领域中新发展起来的方法。 本文分为两部分。第一部分，结合几何和代数多重网格法的特点，我们为两类典型的复杂有限元方程组，设计了具有很强的Robust性和高效性的代数多重网格法。第一类是Rd，d=2，3中的高次Lagrange有限元方程组，其系数矩阵的具有较强稠密性：另一类是所谓的Criss-Cross网格下的线性有限元方程组的约化线性子系统，其相应的几何粗空间一般不具有嵌套性。通过对问题和有限元空间作深入、细致的分析，发现了许多重要的代数特征，形成了一些新的关于求解复杂有限元方程组的网格粗化技术和提升算子构造的代数方法，从本质上克服了粗网格层自由度难以控制等通常代数多重网格法的缺陷，该类AMG法还具有预处理（Setup）时间少、Robust性好和运算效率高等特性。进一步，通过引入新的证明方法，即利用所谓的Xu-Zikatanov恒等式等，我们从理论上严格证明了新算法的最优收敛（下降）率，数值试验验证了理论的正确性。另外，通过引入两套代数矩阵，对高次Lagrange有限元方程组，我们设计并分析了相应的基于AMG法的预条件共轭梯度法。这些主要的算法设计思想和理论分析方法，具有相当的普适性。 第二部分，我们针对两种应用问题，讨论和分析相应的代数多重网格法。第一种是晶格材料的离散模型。我们首先设计了一种基于AMG法的块预条件共轭梯度法，并就方形晶格模型，利用其近似连续模型，从理论上严格证明了其关于参数α是一致收敛性。接着又构造了对更广泛的晶格模型具有高效性和Robust性的AMG法和相应的APCG法，数值试验表明我们的算法对许多晶格模型，关于其规模和重要参数α是一致收敛的。第二种应用问题来源于辐射流体力学方程组，我们讨论其中的二维三温能量方程离散系统的代数多重网格法。我们针对二维三温能量方程的特殊性，建立了一种半粗化的代数多重网格法（SAMG）和以该SAMG为预条件子的Krylov子空间迭代法，并将其嵌入到能量方程与流体力学方程耦合后得到的应用程序中，通过与经典预条件GEMRES（m）和ORTHOMIN（m）迭代法作对比数值实验，表明我们的AMG方法具有高效性和很好的Robust性。