变分法是研究动力系统和偏微分方程的基本工具。基于1-维Frenkel-Kontorova模型和柱面上单调扭转映射建立起来的Aubry-Mather理论,其核心思想即是极小变分。作为Aubry-Mather理论在高维的推广,J.Mather对Tonelli型的Lagrange系统也建立了一套变分学理论,用以分析系统的极小轨道形态。A.Fathi发展了所谓的weak KAM理论,该理论建立了Mather理论和相应的Hamilton-Jacobi方程整体粘性解之间联系。如果Lagrange函数由黎曼度量诱导,则此理论在研究极小测地线和Eikonal方程的粘性解方面,显示了强大的威力。近年来,由于最优输运问题的发展,人们开始关注度量空间（特别是Wasserstein空间）上的Eikonal方程。本文研究了度量空间上的Eikonal方程。在流形上,人们对Eikonal方程的一类弱解,即粘性解的研究已经比较完备。一个自然的想法是将粘性解推广到度量空间上。由于度量空间没有微分结构,研究Eikonal方程的一个首要问题是如何定义它的粘性解。在weak KAM理论中,粘性解与Lax-Oleinik算子的不动点等价。我们利用这个想法,来定义度量空间上的粘性解。我们研究了粘性解的基本性质,并将我们定义的粘性解与文献[13]、[7]中的粘性解进行了比较。1-维Frenkel-Kontorova模型是Aubry-Mather理论的一个重要来源。对高维Frenkel-Kontorova模型的研究,合适的方法是Moser-Bangert理论。本文研究了高维Frenkel-Kontorova模型中的异宿解。[17]利用V.Bangert[4]的方法已经对此问题展开了研究。我们利用Rabinowitz和Stredulinsky的方法,证明了在构型对应的旋转向量α是n维有理向量时,如果周期构型中有相邻元,则我们可以构造沿某固定方向的异宿解。比如α=0,我们可构造沿e1的异宿解,它在与该方向正交的其他方向e2,…,en是周期的。进一步,如果前一步构造的异宿解集中有相邻元,则可以沿另一个方向构造异宿解。比如对前面构造的沿e1方向的异宿解集,如果它有相邻元,则可构造沿e1,e2异宿,沿其余方向e3,…,en周期的解。这个过程可以继续下去,于是我们得到了更多更复杂的解,并对极小不自交解集有了更好的分类。利用此方法,我们计划对更复杂的解,比如同宿解和穿越相邻元的异宿解进行进一步研究。