高维问题的降维方法一直是科学界关注的问题,它指的是将高维数据或高维动力系统映射到一个有物理意义的低维空间中。各学科中高维问题的处理都面临着同样的问题。一是高维问题带来的“维数福音”。高维问题中蕴含着丰富的信息,能让人们认识到事物更深层次的规律。二是维数膨胀也带来了“维数灾难”。研究表明高维空间的几何结构和二维,三维空间差异甚大。低维空间中典型的几何性质对认识高维空间的指导作用并不显著。再者,对于高维非线性偏微分方程而言,往往不存在解析解且这一类系统都表现出混沌行为。因而将高维问题降维分析是一个势在必行的过程。自上世纪九十年代以来,降维方法形成了几个发展阶段。第一阶段是以谱方法为主的主成分分析方法和多维尺度方法。第二阶段是将多维尺度方法应用于非线性降维过程,其变体多以保持高维空间中两点之间的距离为降维机理。这期间发展出众多方法,其中以Sammon非线性映射方法最为显著。最后,受到神经网络方法的启发,发展出了基于神经网络算法的自组织映射。在本世纪初,降维方法又回到了第一阶段,发展出了核主成分分析法。而对于高维非线性动力系统而言,尽管构造近似惯性流形的手段各异,但其降维过程都还是以Galerkin方法为主。以上这些经典降维方法发展完善,但对于系统固有维度过高的问题依然难以处理。因此高维问题的降维依然是一个富有挑战性的问题。本文以流动数据库分析及建立低维动力系统的优化理论为基础,提出基于加权残差最小的无数据库最优低维动力系统(POT-WR)降维方法。以共轭梯度优化算法实现降维过程,并通过实例说明其降维的有效性。其中对具有解析解的一维线性和非线性算例考察POT-WR方法的局部优化效果(即降维效果),通过枚举的方法实现全局优化过程,并在全局优化过程中考察两种收敛准则一一其一为误差,其二为加权残差,目的是为没有解析解的一类非线性偏微分方程选取收敛准则。对二维非线性算例以加权残差为收敛准则直接考察全局优化效果,并对比分析采用不同的截断基时POT-WR基和本征正交分解基(POD基)的区别。论文共计五章,主要研究内容及结论如下。(1)以一维线性热传导方程为例推导出其POT-WR模型,并选用不同的初始迭代基试探POT-WR对于一维线性偏微分方程的收敛性。通过与解析解的对比可知,POT-WR能够在取用较少基时以较高的精度收敛于解析解。其次,根据枚举法的全局优化结果可知,POT-WR方法并不依赖于初始迭代基的选取。以不同的全局收敛准则做全局优化时,POT-WR方法均能收敛。(2)以一维非线性Burgers方程为例推导出其POT-WR模型。选取较小的粘性系数让Burgers系统呈现激波解的形式,以测试POT-WR模型是否能够捕捉系统的主要特征。和一维线性算例做同样的研究发现,对于非线性局部优化问题,POT-WR的降维效果极大的依赖于初始迭代基的选取。而做全局优化时,POT-WR方法则不再依赖于初始迭代基,且得到的全局最优基是一组非线性耦合的基,系统的激波性质由最后一阶基捕捉。另外对于全局优化收敛准则的研究发现,对于一大类没有解析解做误差分析的非线性偏微分方程而言,可以用加权残差作为数值模拟收敛的依据。(3)以不可压缩牛顿型流体Navier-Stokes方程为例推导其POT-WR模型,并详细讨论了给出Dirichlet,Nuewmann和Robin边界条件时POT-WR模型中对应的边界项公式。同时提出了全新的全局优化方法一一粗粒化快速全局优化方法,该方法先在粗网格上通过选取初始迭代基的方式除噪,再在细网格上以加权残差为收敛准则计算POT-WR的降维结果。分析表明,提出的方法能够以较少的阶数高效的得到流场的细部特征。以顶盖驱动空腔流为例,分析了POT-WR方法在选用Dirichlet边界条件时对Navier-Stokes方程的降维效果。通过与目前流行的标准数值计算结果和本征正交基(POD)对比显示,POT-WR截断基数越高时,对流场的近似度也越高。对于二维空腔流而言,最少需要5阶基近似。POT-WR基和POD基之间不存在一一对应关系,且POT-WR方法仅以脉动基就能还原流场形态。POT-WR基不具有线性叠加性,而是在各个基之间相互调整以捕捉系统的最大特征。它是一组非线性的,内禀性的基。系统的主要特征由末阶基捕捉,这一点和Burgers方程.算例的结果保持一致。