分数阶微积分是传统整数阶微积分理论的推广,它源于Leibniz和Euler的一些猜测并发展至今.由于分数阶微分算子的非局部性,这为描述现实世界中具有记忆功能以及遗传性质的材料提供了强有力的工具,因此被广泛应用于流体力学、粘弹性力学、反常扩散、电磁学、信号处理与系统识别及现代控制理论等领域.随着分数阶微分方程应用的不断深入,求其解析解仍是追求的首要目标.但是一般而言,分数阶微分方程的解析求解是非常困难的,即使是线性分数阶微分方程的解析解也大多含有一些收敛很慢的特殊函数,如:Mittag-Leffler函数、Wright函数、Hypergeometric函数等.因此如何对分数阶微分方程进行高效的数值模拟已经引起越来越多学者的高度重视.鉴于此,本文将着重讨论几类分数阶微分方程的数值算法及其预处理技巧.在第一章,我们简要介绍了分数阶微分方程的研究背景和研究现状,并给出了本文所要研究的主要内容.在第二章,我们考虑了刚性Caputo型分数阶微分方程的拓展的单支方法.在一定的条件下,证得该方法是收敛的和稳定的.数值算例验证了该方法的计算效率和精度.在第三章,我们分析了刚性Caputo型分数阶微分方程的拓展的边值方法.在合适的条件下,研究了方法的局部稳定性、唯一可解性和收敛性.并通过一些数值例子验证了该方法的计算效率、精度和可比性.在第四章,我们讨论了非刚性Caputo型分数阶微分方程的拓展的块边值方法.得到了该方法收敛和全局稳定的准则.数值算例验证了该方法的理论结果、计算效率和精度.在第五章,我们关注于用拟紧边值方法求解空间分数阶扩散方程.为了加速这一类方法的收敛率,我们采用了Kronecker积分裂(KPS)迭代法和带有KPS预处理的GMRES方法.数值试验验证了所使用方法的计算有效性和精度.并与带有Strang预处理的GMRES方法进行数值比较,结果表明带有KPS预处理的GMRES方法在计算效率方面是具有可比性的.在第六章,我们构造了求解二维分数阶对流扩散方程的隐式差分方法.在一定条件下证明了该差分方法的稳定性和收敛性.并用带有KPS预处理的GMRES方法来加快计算的收敛速度.数值算例验证了该方法的计算精度和效率.在第七章,我们提出了带有非线性源项的时空分数阶Fokker-Planck方程的隐式差分方法,并分析了该方法的收敛性和稳定性,结果表明,该隐式差分方法在时间和空间上均具有二阶精度.类似于第六章我们提出了一种实现该隐式差分格式的预处理技巧:带有KPS预处理的GMRES方法来加快计算的收敛速度.最后给出了几个数值例子来验证理论结果.在第八章,我们对本文工作进行了一个简要的总结,并且阐述了一些有待进一步研究的问题.