一类拟线性椭圆方程Dirichlet边值问题多个变号解的存在

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本文我们将应用极大极小方法和Morse理论研究一类拟线性椭圆方程Dirichlet边值问题多解的存在性和解的变号性质。 设Ω是RN(N≥1)中的有界区域,具有光滑边界()Ω,我们考虑拟线性椭圆方程Dirichlet边值问题{-△pu=f(x,u),x∈Ω,{u=0,x∈()Ω这里△pu=div(|()u|p-2()u),1<p<∞.用p*表示p的Sobolev共轭临界指数:p*={Np/N-p,p<N,{∞,p≥N.设函数f:Ω×R→R为Carathédory泛函,满足增长性条件(f1)存在常数C>0和q∈(1,p*),使得对u∈R,x∈Ω,有|f(x,t)|≤C(1+|t|q-1)成立时,此时非线性泛函Ф:W1,p0,(Ω)→Rφ(u)=1/p∫Ω|()u|pdx-∫ΩF(x,u)dx有定义,这里F(x,t)=∫t0f(x,s)ds是f(x,u)的原函数。进而泛函Ф是一次Fréchet可微,它的Fréchet导数表示为(Ф;(u),v)=∫Ω|()u|p-2()u()udx-∫Ωf(x,u)udx,()u,u∈W1,p0(Ω).所以方程(Dp)的弱解等同于泛函Ф的临界点。于是求方程(Dp)的弱解等价于求泛函Ф的临界点。 现在我们陈述本文的主要条件和结论。在本文中我们总是假设函数f:Ω×R→R是连续函数(从而是Carathédory函数),满足次临界增长性条件(f1),且满足f(x,0)≡0,因而方程(Dp)有一个平凡解u=0.我们的目的是求方程的非平凡解。不失一般性,我们假设问题(Dp)有有限个解。非平凡解的存在性取决于f(x,t)或它的原函数F(x,t)在原点0及无穷远的性质。 我们假设以下条件:(f2)lim|t|→∞pE(x,t)/t|p<λ1,(f3)存在ρ>0,λ>λ2,使得当0<|u|≤ρ时,F(x,t)≥λ/p|t|p.本文的主要结果是定理1设(f2),(f3)成立,则方程(Dp)有两个非平凡解,其中一个是正解u1,一个是负解u2.若方程(Dp)只有这两个定号解,则它还有一个变号的山路型非平凡解u3.它们的能量满足max{Ф(u1),Ф(u2)}<Ф(u3)<0.若把(f3)加强为如下的条件(f3)存在a>λ2,a()σ(-△p)使得limp|u|→0F(x,t)/|t|p=a.则有定理2设(f2),(f3)成立,再设定理1中得到的山路点u3的临界群为Cq(Ф,u3)=δq,1F,()q∈z,其中F为相应系数群,那么方程(Dp)还有第四个变号的非平凡解。
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