自Pardoux和Peng[47]的奠基性工作之后，非线性倒向随机微分方程(简称BSDE)Y(t)=ξ+∫Ttg(s,Y(s),Z(s))ds-∫TtZ(s)dW(s),t∈[0，T](1)凭借其在随机控制，偏微分方程及金融数学等领域中的广泛应用而得到相当大的关注。另一方面，作为BSDEs的非平凡推广，本文着重研究如下方程，倒向随机Volterra积分方程(简称BSVIE)，Y(t)=(Ψ)(t)+∫Ttg(t,s,Y(s),Z(s，t),Z(t,s))ds-∫TtZ(t,s)dW(s),t∈[0,T].(2)我们给出本文的如下组织结构。　　 在第一章，我们简要介绍第二章到第六章中所讨论的问题，及相关符号说明。　　 受方程(2)在空间H2[0，T]中适应解的非唯一性启示，在第二章中我们引入对称解（简称S-解）的概念，给出此时方程的适定性.同现有的文献相比，我们推广且修正了[38]中的主要结论，通过数个例子给出了同[69]中M-解的区别和联系。最后，我们给出了一类由对称解所导出的关于过程的动态相容风险度量.　　 同BSDE相比，由于BSVIEs结构复杂，且不具备半群性，Yong[69]引入四步方法来处理区间[0，T]上M-解的存在唯一性。然而，其思路过于复杂，进而很难处理更一般的比如停时或者无穷区间情形，故在第三章中我们引入新的简便的方法来研究BSVIE。通过一个简单的反例，我们修正和推广了[53]中关于M-解的结论.而对于空间H2△[0，T]中适应解，我们给出了随机非李普希兹条件下的适应解的存在唯一性，进而改进和推广了[38]和[66]中的结论。　　 比较定理是SDEs和BSDEs理论中的基本课题，所以在第四章我们系统的研究了倒向随机Volterra积分方程关于H2△[0，T]适应解及H2[0,T]中M-解的比较定理。由于此研究框架的一般性，为了保证解比较定理成立，我们需要假设一些单调性条件。完整起见，我们也给出了关于SDEs，BSDEs和SVIEs解的比较定理，其中对偶原理在相关的证明中发挥了重要作用。同时，各种例子和反例也表明了此时所假设条件的必要性.　　 在第五章，我们研究了关于正倒向随机Volterra积分方程(简称FBSVIE)的最优控制问题。由于生成元g依赖于Z(s，t)而非Z(t，s)，故此问题有许多新的特性产生，而非对[50]中FBSDEs情形的简单推广，见下面第一章第四节。作为应用，我们考虑了线性二次问题和两个经济学模型，这深化了[7]，[23]和[32]中的研究.最后我们给出一类特殊线性FBSVIEs的优化问题。特别的，这里的结论也改进了文献[45]。　　 受[13]和[14]中平均场倒向随机微分方程的启示，在第六章中我们引入平均场倒向随机Volterra积分方程(简称MFBSVIE)，并讨论了空间Hp[0，T]中的M-解.若p＞2，则生成元和相应的非局部项关于Z(s，t)需假设为次线性增长，且其假设的必要性又通过巧妙的例子来得到印证。据我们所知，这一点不同于BSDEs的Lp解理论。我们也给出了关于平均场SVIEs和平均场BSVIEs的对偶原理，并由此得出另一个有趣的结论。最后，利用正向方程的对偶原理，我们建立了相应方程最优控制问题的最大值原理。　　 现在我们给出本论文的主要结论.　　 1、倒向随机Volterra积分方程的对称解及应用　　 本章内容来自于以下文献，　　 TIANXIAOWANGANDYUFENGSHI，SymmetricalsolutionsofbackwardstochasticVolterraintegralequationsandapplications.publishedinDis.Cont.Dyn.Syst.Series-B，14，2010，251-274.　　 对于BSVIE(2)，Yong在空间H2[0，T]中引入如下的M-解，　　 定义2.1.1令S∈[0，T].若过程(Y(·)，Z(·，·)∈H2[S,T]满足方程(2)，且对于几乎所有的t∈[S,T]，Y(t)=(E)FsY(t)+∫tsZ(t,s)dW(s),t∈[0，T]，则称(Y(·)，Z(·，·)∈H2[S，T]为方程(2)的M-解.　　 另一方面，由于第一章中例1.1.1可知方程(2)在空间H2[0,T]中的解不唯一，故这里我们引入如下对称解（简称S-解）的概念，　　 定义2.1.2令S∈[0，T]。若过程(Y(·)，Z(·，·)∈*H2[S，T]满足方程(2)，且对于t∈[S,T]，有Z(t,s)=Z(s,t),t,s∈[S，T]，则称(Y(·)，Z(·，·)∈*H2[S,T]为方程(2)的对称解.　　 注意这里H2[S,T]是*H2[S,T]的子空间，且此新空间*H2[S,T]引入的必要性可参见下面的例1.1.2.　　 这一章的主要结论为，　　 定理2.1.4假设g关于y，ζ和z满足李普希兹条件，其中L为满足一定可积性的李普希兹函数，(Ψ)(·)∈L2FT(0，T;(R)m)，则方程(2)存在唯一的S-解，且对于S∈[0，T]，||(Y(·)，Z(·，·))||2·H[S,T]≡(E){∫TS|Y(t)|2dt+∫TSTTST|Z(t,s)|2dsdt}≤CE{∫TS|(Ψ)(t)|2dt+∫TS(∫Tt|g0(t,s)|ds)2dt}.利用定理2.1.4，我们可修正和推广Lin[38]中关于适应解的结论。而且通过注2.2.4，注2.2.5，注2.2.8中的若干例子，我们给出了S-解和M-解的区别和联系。最后，我们给出S-解在风险管理中的应用.准确来讲，通过定义ρ(t;(Ψ)(·))=Y(t)，其中t∈[0,T]，(Y(·)，Z（·，·））是方程(3)的对称解，Y(t)=-(Ψ)(t)+∫Tt(f(t,s,Y(s))+T1(s)Z(t,s)+r2(s)Z(s,t))ds-∫TtZ(t,s)dW(s).(3)我们有下面的结论，　　 定理2.3.7假如f(t，s，y)=η(s)y,其中η(·)有界确定函数，则ρ(·)是关于过程(Ψ)的动态相容风险度量。　　 关于此时风险度量的定义，见第二章定义2.3.1和2.3.2.　　 2、倒向随机Volterra积分方程:新思路　　 本章内容来自于文献　　 YUFENGSHIANDTIANXIAOWANG,SolvabilityofgeneralbackwardstochasticVolterraintegralequations.PublishedinJ.Korean.Math.Soc,49,2012,1901-1921.本章的第一个目的是提供更简便的思路来研究M-解.受ElKaroui和Huang[25]的启示，我们在空间H2[0，T]中引入如下的范数，||(y(·)，z(·，·))||H2[0，T]=[(E)∫T0eβA*(t)|y(t)|2dt+(E)∫T0∫T0TeβA*(s)|z(t，s)|2dsdt]1/2，其中β是正常数，且A*(t)=∫t0α2p/2-p(s)ds，α(·)≥1是适应过程.这就有如下的关于M-解的估计，(E)∫T0eβA*(s)|Y(s)|2ds+(E)∫T0∫TteβA*(s)|Z(t,s)|2dsdt≤C(E)eβA*(T)∫T0|(Ψ)(t)|2dt+C(E)∫T0eβA*(t)|∫Ttf(t,s)ds|2dt+C(E)∫T0∫Ttβα2p/2-p(s)eβA*(s)|∫Tsf(t,u)du|2dsdt.其中p∈[1，2），其证明见以下引理3.2.1.然后，由不动点原理即可知区间[0，T]中解的适定性，　　 定理3.2.4假如g满足|g(t，s，y，z，ζ)-g(t，s，(y)，(z)，(ζ))|≤L(t，s)α(s)(|y-(y)|+|z-(z)+|ζ-(ζ)|)这里(Ψ)(·)∈L2,βFT(0，T;(R)m)，1/p+1/q=1，supt∈[0,T](∫TtLq(t,s)ds)2/q＜∞,(E)∫T0∫TteβA*(s)|g(t,s,0,0,0)|2dsdt＜∞，α(·)是确定的，且A*(·)有界，则方程(2)在空间H2[0，T]中存在唯一的M-解.若g不含有Z(s，t)，则α可允许为随机过程，进而有，　　 定理3.2.7假如定理3.2.4中条件成立，g不含有Z(s，t)，α为适应过程，A*(·)有界，则BSVIE(2)在空间H2△[0,T]上存在唯一的适应解。　　 近来Ren[53]利用Anh和Yong[6]中的方法考虑了非李氏条件下M-解的存在唯一性。然而，其第7页的划分步骤存在问题，见下面的例3.3.1。故这里我们引入更弱的条件和不同的办法来修补此漏洞。利用上述范数，我们可得方程(2)在非李氏条件下M-解的存在唯一性，进而修正和推广了[6]，[53]，[67]，[68]和[69].　　 定理3.3.3对于(t，s)∈△，假如g满足|g(t，s，y，z，ζ)-g(t，s，(y)，(z),(ζ)|≤L(t，s)α(s)[(ρ(|y-(y)|2)）1/2≥+|z-(z)+|ζ-(ζ)|]，其中ρ为R+到自身的递增凹函数使得ρ(0)=0，∫0+du/ρ(u)=∞。(Ψ)(·)∈L2FT(0，T;(R)m)，α(·)为确定的，L(t，s)满足suopt∈[0,T](∫TtLq(t，s)ds)2/q＜∞，则方程(2）在空间H2[0，T]上存在唯一的M-解。　　 3、倒向随机Volterra积分方程的比较定理　　 本章的结论来自于，　　 TIANXIAOWANGANDJIONGMINYONG,ComparisontheoremofbackwardstochasticVolterraintegralequations.SubmittedtoStochasticProcessandtheirapplication　　 在这一章，我们将系统的研究多维倒向随机Volterra积分方程的比较定理.完整起见，我们首先考虑正向随机微分方程的情形，见[27]，[51]。　　 下面的结论是关于非线性SDEs，即对于i=0，1Xi(t)=x2+∫tsbi(r,Xi(r))dr+∫tsσ(r,Xi(r))dW(r),t∈[s，T]，(4)　　 定理4.2.2.令bi，σ关于x李普希兹，bi(s，0)，σ(s，0)是有界过程。假如存在(b)使得(b)x(t，x)一致有界.若(b)x(t，x)∈(R)n*+，σx(t，x)∈(R)n×nd，(t，x)∈[0，T]×(R)n，(5)且b0(t，x)≤b(t，x)≤b1(t，x).那么对于(s，xi)∈[0，T)×(R)n，x0≤x1，方程(4)唯一的解Xi(·)≡Xi(·;s，xi)满足X0(t)≤X1(t)，t∈[s，T]。反过来，若b0(t，x)=(b)(t,x)=b1(t，x)，(t，x)∈[0，T]×(R)n，且(t，x)→((b)(t，x)，σ(t，x))连续。那么(5)对于比较定理的成立是必要的.　　 现在我们研究非线性BSDEs。考虑n-维BSDEs:其中i=0，1，τ为取值于[0，T]上的F-停时，Yi(t)=(ζ)i+∫Ttgi(s,Yi(s),Zi(s))ds-∫TtZi(s)dW(s)，t∈[0,τ].(6)　　 定理4.2.4.假如gi关于y和z满足李普希兹条件，gi(s，0，0)有界.若存在(g)使得(g)y（s，y，z），(g)z(s，y，z)一致有界。而且(g)y(s，y，z)∈(R)n×n*+，(g)z（s，y，z）∈(R)n×nd，(s，y，z)∈[0，T]×(R)n×(R)n，(7)g0(s，y，z)≤(g)(s，y，z)≤g1(s，y，z)。则对于任意(F)-停时τ及(ζ)0，(ζ)1∈L2Fτ(Ω;(R)n)，其中(ζ)0≤(ζ)1，方程(6)的解(Yi(·)，Zi(·))满足Y0(t)≤Y1(t)，t∈[0，τ]。反过来，若g0（s，y，z）=g（s，y，z）=g1(s，y，z)，(s，y，z)∈[0，T]×(R)n×(R)n，(s，y，z)→（g）（s，y，z）连续，则条件(7)也是必要的.　　 由于这里g0(·)和g1(·)在充分条件的证明中是不同的，故推广了[29]中相应结论。最后，我们指出这里的证明是基于对偶性原理及线性SDEs的相关结论，这不同于文献[29]。　　 现在我们考虑正向随机Volterra积分方程，X(t)=(φ)(t)+∫t0A0(t,s)X(s)ds+∫t0A1(s)X(s)dW(s),t∈[0，T].(8)　　 命题4.2.8.若A0，A1有界，t→A0(t，s)在区间[s,T]上连续。　　 (i)假如A0(t，s)∈(R)n×n+，A1(s)=0，（t,s）∈△*.那么(8)存在唯一解X(·)且它满足X(t)≥(φ)(t)≥0，t∈[0，T]。　　 (ii)假如A0(t，s)∈(R)n×n*+，A1(s)∈(R)n×nd，这里(t，s)∈△*。而且，存在连续非递减函数ρ:[0，T]→[0，∞），ρ(0)=0使得|A0(t,s)-A0(t,s)|≤ρ(|t-t|),t,t∈[0,T],s∈[0,t∧t]，A0(τ，s)-A0(t，s)∈(R)n×n+，其中0≤s≤t≤τ≤T。则对于任意的(φ)(·)∈CF([0，T];L2(Ω，(R)n))，(φ)（τ）≥(φ)(t)≥0，0≤s≤t≤τ≤T，方程(8)存在唯一的解X(·)∈CF([0,T];L2(Ω;(R)n))，且它满足X(t)≥0，t∈[0,T].　　 现在回到关于BSVIEs的比较定理，由于其形式复杂，故这里的理论要比BSDEs情形更加丰富。首先，考虑BSVIE(2)，其中g(·)不依赖于Z(s，t)。对于i=0，1，Yi(t)=(φ)i(t)+∫Ttgi(t，s，Yi(s),Zi(t，s))ds-∫TtZi(t，s)dW(s)，t∈[0，T].(9)　　 定理4.3.2.若(Yi，Zi)是方程(9)的解。(g):△×(R)×(R)n×Ω→(R)n满足某种可测性，（y，z）(→g)(t，s，y，z)一致李普希兹，y(→g)（t，s，y，z）是非递减的，使得g0（t，s，y，z）≤(g)(t，s，y，z）≤g1（t，s，y，z），(t，s，y，z)∈△×(R)×(R)n，(g)(t，s，y，z)存在，且(g)z(t，s，y，z)∈(R)n×nd.则对于任意满足(Ψ)0(t)≤(Ψ)1(t)的(Ψ)i(·)∈CFr([0，T];L2(Ω;(R)n))，BSVIE(9)相应的解满足Y0(t)≤Y1(t).　　 若我们考虑下面的线性方程，Y(t)=(Ψ)(t)+∫Tt[A(t,s)Y(s)+B(s)Z(t,s)]ds-∫TtZ(t,s)dW(s),t∈[0，T].(10)则上述定理4.3.2意味着A(t，s)应该属于(R)n×n+.然而，事实上，我们可以改进此条件如下，　　 定理4.3.6.若A和B一致有界，且对于s∈[0，T]，t(→)A（t,s）连续.而且A(t,s)∈Rn×n*+，这里(t,s)∈△,A(t,s)-A(τ,s)∈(R)n×n+,0≤t≤τ≤s≤T,B(s)∈(R)n×nd，s∈[0，T].则对于任意的(Ψ)(·)∈CFT([0，T];L2(Ω;(R)n))，其中(Ψ)(t)≥(Ψ)(s)≥0，0≤t≤s≤T线性BSVIE(10)的解(Y(·)，Z(·，·))满足Y(t)≥0，t∈[0，T].　　 第二种情形是考虑当g(·)依赖于Z(s，t)而非Z(t，s)时的M-解。下面的例4.3.8表明我们应该考虑如下线性BSVIEs的M-解的比较定理，Y(t)=(Ψ)(t)+∫Tt(A(t，s)Y(s)+C(t)Z(s，t))ds-∫TtZ(t,s)dW(s)，t∈[0，T].(11)　　 定理4.3.9.若A和C一致有界，且对于s∈[0，T]，t(→)A(s，t)连续。而且A(t，s)∈(R)n×n*+，(t，s)∈△，A(s，τ)-A(s，t)∈(R)n×n+，s≤t≤τ≤T，s∈[0，T]，C(t)∈(R)n×nd，t∈[0，T].则当(Ψ)(·)∈CFT(0，T;L2(Ω;(R)n))且(Ψ)(·)≥0，线性BSVIE(11)的解(Y(·)，Z(·，·))满足EFt∫TtY(s)ds≥0，t∈[0，T].　　 这里更正了文献[67]和[68]中的相应结论。　　 4、正倒向随机Volterra积分方程的最大值原理及应用　　 本章内容来自于，　　 YUFENGSHI,TIANXIAOWANGANDJIONGMINYONG,Optimalcontrolproblemofforward-backwardstochasticVolterraintegralequationsandapplications.preprint在这一章，我们给出正倒向积分方程最优控制问题的最大值原理.准确来讲，我们记Mv(t)=(E)Ft∫TtYv(s)ds，Nv(t)=∫TtZv(s,t)ds，t∈[0，T]，状态方程为{Xv(t)=(Ψ)(t)+∫t0b(t，s,Xv(s)，v(s))ds+∫t0σ(t,s，Xv(s),v(s))dW(s),Yv(t)=(Ψ)(t)+∫Ttg(t,s，Xv(t)，Xv(s)，Yv(s)，Zv(s，t)，v(t)，v(s)，λv(s，t))ds(12)-∫TtZv(t,s）dW(s)，指标函数表示为，J(v(·))=(E)[∫T0l(s,Xv(s),Mv(s),Yv(s),Nv(s),v(s))ds+h(X(T))+γ((E)∫T0Y(s)ds)].(13)这里给定s∈[0，T]，λv由v(s)=(E)v(s)+∫t0λv(s，r)dW(r)确定.当控制区域为凸集合时，我们要最小化上述指标函数.　　 定理5.2.3假如u(·)是最优控制，(Xu(·)，Yu(·)，Zu(·，·))是相应的FBSVIE(12)的M-解。那么我们有，(A)u∈uH(t,Xu(t),Yu(t),Zu(t，·),u(t)，P(t),Q(t),R(·，t))·(u-u(t))≥0,a.e.，a.s.其中H(t,Xu(t),Yu(t),Zu(t,·),u(t),P(t),Q(t)，R(·,t))=luv(t)+buv(T,t)(E)Fthx(Xu(T))+σuv(T，t)θu(t)+P(t)(E)Ft∫Ttgu（t,s）ds+∫t0guv(s，t)·P(s)ds+∫t0P(s)(E)Fsgλ(s，t)dW(s)+(E)Ft∫TtR(s，t)σuv(s，t)ds+(E)Ft∫TtQ(s)buv(s，t)ds，（P,Q，R）是以下FBSVIE的M-解，{P(t)=lug(t)+γy((E)∫T0Yu(s)ds)+∫t0luM(s)ds+∫t0luN(s)dW(s)+∫t0guy(s,t)P(s)ds+∫t0(E)Fsguz(s，t)·P(s)dW(s)，Q(t)=lux(t)+∫gux(s，t)P(s)ds+P(t)∫Ttgux(t，s)ds+bx(T,t)hx(Xu(T))+σx(T,t)θu(t)+∫Ttbux(s,t)Q(s)ds+∫Ttσux(s,t)R(s,t)ds-∫TtR(t,s)dW(s),hx(Xu(T))=(E)hx(Xu(T))+∫T0θu(s)dW(s).　　 由于此时我们不能使用伊藤公式，故这里的方法绝不是对[50]情形的直接推广.同经典文献[49]和[50]相比，在我们的问题中会有一些新的特性产生，见第一章第五节.　　 之后，我们给出关于FSBVIEs的线性二次控制问题，而且在某些条件下它可以退化成[50]中的FBSDEs情形.而且这里关于BSVIE的线性二次问题的研究也是新的。　　 作为应用，我们在线性FBSVIE的框架下研究两个经济学模型，即随机投入-产出模型和随机资本转换（或重置）模型，这发展和深化了[7]，[23]和[32]中的相关研究.对于前一个模型，状态方程和指标函数可表示为(12)和(13)，其中b=h1(t，s)u(s)，σ=h2(t,s)v(s)，(φ)(t)=X(0),g=-h1(T,s)v(s)+f(t)(Z)(s,t)-f(t)[T-s]λ(s,t)[f(s)h2(T,s)+h1(T,s)]，l=δ[y-[T-s][h2(T,s)f(s)+h1(T，s)]v]，h(x)=-(U)(x)。对于倒向方程中λu(s，t)的出现，见下面5.3.2部分.所以我们有下面的结论，　　 定理5.3.2假如u(·)是最优解，那么对于t∈[0，T]，0=-(E)Fth1(T，t)(u)x(Xu(T))-h2（T，t）θu(t)-h1(T，t)∫t0P(s)ds+[∫t0P(s)f(s)dW(s)-δ](T-t）[f(t)h2(T,t)+h1(T，t)]，这里P(t)=δ+∫t0f(s)P(s)dW(s)，(U)x（X（T））=(EU)x（X（T））+∫θu(s)dW(s).　　 对于随机资本转换模型，状态方程为(12)，其中b=M(t-s)v(s)，σ=N(t-s)v(s)，(φ)(t)=0，g=-h1(T,s)v(s)+f(t)(Z)(s，t)-f(t)[T-s]λ(s,t)[f(s)h2(T,s)+h1(T,s)].且指标函数为(13)，其中l=δ[y-[T-s][h2(T,s)f(s)+h1(T,s)]v]-α(t)[P(s，x)-v],所以，我们有下面的结论，　　 定理5.3.4若u(·)是最优解，那么对于t∈[0，T]，0=-α(t)+(E)Ft（∫TtM（s-t）Q(s)ds+∫TtN(s-t)R(s，t)ds）-L(t)(14)L由模型确定.特别的，若p(t，x)=x-γ/2x2，γ＞0，则(14)也可表示为，u(t)∫TtN2(s-t)ds=α(t)+L(t)-(E)Ft∫TtM(s-t)α(s)[1-γXu(s)]ds-(E)Ft∫Ttλ(u，t)（∫TuM（s-u）N(s-t)ds)du.　　 最后，我们研究了一个特殊的优化问题，其中状态方程和指标函数为(12)和(13)，其中(φ)=x0，b=α(s)v(s)，σ=β(s)v(s)，g=-l1(s)x+l2(s)v+r(s)y+kγ(s)ζ，l=-l1(s)x-l2(s)v+2r(s)y，h(x)=-h(x），则　　 定理5.3.5假如u是最优解，h(x)=x-γ/2x2，α，α-1，β，β-1是有界过程使得(E)e-A(T)|Xu（T）|＜∞，(E)e-A(T)∫T0|(D)tXu(T)|2dt＜∞，(E)e-A(T)|Xu（T）|∫T0∫T0(D)tα(s)/β(s)d(w)(s)＜∞，这里A和W定义为，A(t)=∫t0α(s)/β(s)dW(s)+∫t0α2(s)/β2(s)ds，(W)(t)=∫t0α(s)/β(s)+W(t)，那么对于G=[(E)M1(T)e-A(T)-x]/(E)e-2A(T)，其中M1是由系数决定的适应过程，u(·)可表示为，u(t)=1/β(t)e-A(t)(E)Ft[e-A(T)(D)tM1（T）-e-A(T)G(D)te-A(T)]-1/β(t)e-A(t)(E)Ft[e-A(T)（M1(T)-e-A(T)G）∫Tt(D)t（α(s)/β(s)）d(w)(s)].　　 5、平均场倒向随机Volterra积分方程及应用　　 本章内容来自于，　　 YUFENGSHI,TIANXIAOWANGANDJIONGMINYONG,MeanfieldbackwardstochasticVolterraintegralequations,.被杂志Dis.Cont.Dyna.Syst.SeriesB.接受　　 在这一章，我们研究如下形式的倒向方程，Y(t)=(φ)(t)+∫Ttg(t,s,Y(s),Z(t,s),Z(s，t)，Γ(t,s,Y(s),Z(t,s),Z(s，t)))ds-∫TtZ(t,s)dW(s)，t∈[0，T]，其中Γ(t,s,Y(s),Z(t,s),Z(s，t))=(E)[θ(t,s,Y(s),Z(t,s),Z(s,t))]=∫θΩ(t,s,ω,ω,Y(s,ω),Z(t,s,ω),Z(s,t,ω),Y(s,ω),Z(t,s,ω),Z(s,t,ω))(P)(dω).　　 定理6.3.2.假如θ和g满足李普希兹条件，且|θ(t,s,y,z，(z),y，z，(z))|≤L(1+|y|+|z|+|(z)|2/q+|y|+|z|+|(z)|2/q)|g(t,s，y，z，(z)，γ)|≤L(1+|y|+|z|+|(z)|2/q+|γ|),其中2≤q＜∞。则对于任意的Ψ(·)∈LqFT（0，T;(R)n），方程(15)存在唯一M-解(Y(·)，Z(·，·))∈Mq[0，T]，且下面的估计成立，||(Y(·),Z(·，·))||Mq[0，T]≤K1+||(Ψ)(·)||LqFT(0，T;(R)n)）.当p∈(1，2]，Wang[61]讨论了BSVIEs的Lp解.当然我们也可利用[61]中的方法来处理p∈(1，2)的情形。另一方面，若映射θ是关于(z)和(z)线性增长，尽管Ψ(·)∈LpFTT(0，T;(R)n)，方程(15)的M-解(Y(·)，Z(·，·))有可能不属于MP[0，T]，p＞2，见下面的例6.3.3。　　 下面我们给出关于平均场SVIEs和平均场BSVIEs的对偶原理。首先，考虑方程X(t)=(φ)(t)+∫t0(A0(t,s)X(s)+(E)[C0(t,s)X(s)])ds(16)+∫t0(A1(t,s)X(s)+(E)[C1(t,s)X(s)])dW(s),t∈[0,T].我们有下面关于平均场SVIEs的结论，　　 定理6.4.1.假如(φ)(·)，(Ψ)(·)∈L2F（0，T;(R)n），X（·）∈L2F（0，T;(R)n）是方程(16)的解，且(Y(·)，Z(·，·))∈M2[0，T]是如下方程的M-解，Y(t)=(Ψ)(t)+∫Tt(A0(s,t)TY(s)+A1(s,t)TZ(s,t)+(E)*[C0(s，t)TY(s)+C1(s，t)TZ(s，t)])ds-∫TtZ(t,s)dW(s).则(E)∫T0dt=E∫T0dt.接下来，我们由平均场BSVIEs开始，Y(t)=(Ψ)(t)+∫Tt((A)0(t,s)Y(s)+(c)0(t,s)Z(s,t)+(E)[(A)1(t,s)Y(s)+(G)(t,s)Z(s,t)])ds-∫TtZ(t,s)dW(s)，t∈[0,T](17).现在我们给出关于平均场BSVIEs的对偶原理。　　 定理6.4.2.假如(Ψ)(·)∈L2FT（0，T;(R)n），(Y(·)，Z(·，·))是方程(17)的M-解。而且X(·)∈L2(0，T;(R)n)满足X(t)=(Ψ)(t)+∫t0((A)0(s,t)TX(s)+(E)*(A)1(s,t)TX(s)])ds+∫t0((E)[(C)0(s，t)T|Fs]X(s)+(E)*[(E)[(C)1(s，t)T|Fs]X(s)])dW(s).则(E)∫T0dt=(E)∫T0dt.　　 由前面的对偶原理，我们有下面有趣的结论，即平均场SVIEs的二次对偶方程仍为其本身，但是平均场BSVIEs的二次对偶方程却不再是它自己.最后，我们考虑平均场SVIEs的最优控制问题，X(t)=(Ψ)(t)+∫t0b(t,s,X(s),u(s),Γb(t,s,X(s),u(s)))ds(18)+∫t0σ(t,s,X(s),u(s),Γσ(t,s,X(s),u(s)))dW(s),t∈[0，T]，其中Γb(t,s，X(s)，u(s))=∫Ωθb(t，s，ω，ω，X(s，ω)，u(s，ω)，X(s，ω),u(s，ω))(P)（dω）。指标函数定义为，J(u(·))=(E)∫T0g(s,X(s),u(s),Γg(s,X(s),u(s)))ds,(19)这里Γg(s，X(s)，u(s))=∫Ωθg(s，ω，ω，X(s，ω)，u(s，ω)，X(s，ω),u(s，ω))(P)（dω）。我们的目的在于最小化上述指标函数。　　 定理6.5.1.假如b，σ，Γb，Γσ满足一定的可侧性，李普希兹条件，线性增长条件，及(X(·)，(u)(·))是此控制问题的最优对。则对偶方程(20)Y(t)=-a0(t)-(E)*c0(t)+∫Tt(A0(s,t)TY(s)+A1(s，t)TZ(s,t)+(E)*[C0(s,t)TY(s)+C1(s,t)TZ(s，t)])dsdt-∫Z(t,s)dW(s).存在唯一的M-解(Y(·)，Z(·，·))∈M2[0，T]使得下面的变分不等式(21)成立，≥0，(21)(V)u∈U,t∈[0，T]，as