信号稀疏表示是一种新兴的信号分析和综合方法,其目的就是在过完备字典中用尽可能少的原子来表示信号。作为一种有效的图像表示模型,稀疏表示使用包含一定数量原型原子作为元素的超完备字典,图像信号可以表示为这些原子的稀疏线性组合,近年来成为了炙手可热的研究重点。稀疏表示在灰度图像的处理当中已经取得了较为先进的水平,然而对于彩色图像稀疏表示,传统的方法是把彩色图像的三个颜色通道作为三个独立的灰度图像进行单色处理,这样完全忽略了各个通道之间的相互关系,从而可能造成重建结果的色调失真。改进的方法是将RGB通道连接起来形成一个共同的通道以减轻色调失真的问题,并训练一个学习字典来表示共同的通道,但是由于三个通道之间的关系缺乏明确的约束,仍然不能得到令人满意的结果。于是,基于四元数矩阵与彩色图像的相容性,又出现了一种有效的彩色稀疏表示模型,避免了三个颜色通道的相关性丢失。但是,对于更多通道的信号如多光谱图像,四元数就无能为力了。幸运的是几何代数提供了一个处理多通道信号的有效的工具。本文基于几何代数提出了针对彩色图像、多光谱图像的稀疏表示模型,又提出了可交换几何代数基,并基于可交换几何代数提出了新的稀疏表示模型,大大降低了算法复杂度。在本文中,首先研究了现有的稀疏表示模型框架以及几何代数理论框架,基于几何代数提出了彩色图像稀疏表示模型,多光谱图像稀疏表示模型,将稀疏表示应用于更高维的数据处理中。然后,针对几何代数乘法不可交换而产生的计算复杂度高的问题,提出了可交换几何代数基,即乘法可交换,并基于可交换几何代数提出了新的彩色图像稀疏表示模型,旨在提高性能的同时降低算法的时间复杂度。此外,还基于几何代数提出了多通道信号L1范数最小化求解算法。具体研究内容如下所示:(1)研究几何代数框架并提出可交换几何代数基。几何代数提供了一个强大的图像处理框架,为多通道信号提供了一种强大的表示方法,即将多通道信号的各个通道编码到几何代数的各个分量上进行整体处理。但是几何代数是乘法不可交换的,具有算法复杂度高的缺点。针对这个问题提出了可交换几何代数基,在大大降低算法的时间复杂度的同时去除数据冗余。(2)提出一种基于几何代数的彩色图像稀疏表示模型。该模型将彩色图像表示为几何代数多矢量的形式,并提出了一种基于几何代数的字典学习算法。在几何代数空间中进行稀疏基的选择,将通道图像统一转换到正交的颜色空间,在矢量重建的过程中能够完全保留彩色图像固有的颜色结构。此外,由于不同通道原子间的冗余度较低,与现有的稀疏模型相比,该稀疏模型在图像恢复任务中更为有效。实验结果表明,所提出的基于几何代数的彩色图像稀疏表示模型成功地避免了色调偏差问题,彰显了其作为彩色图像分析和处理领域的通用、强大工具的潜力。(3)提出一种基于几何代数的多光谱图像稀疏表示模型。几何代数在图像处理中得到了很好的应用,为多光谱图像的表示提供了一种强有力的方法,基于几何代数提出了一种多光谱图像的多矢量稀疏表示模型。该模型充分考虑了空间信息和光谱信息,将多光谱图像表示为几何代数多矢量,并提出了一种基于几何代数的字典学习算法。充分考虑到多光谱图像中各个光谱通道之间的相关性,成功地避免了伪影和模糊效应。实验结果表明,所提出的稀疏模型通过对光谱通道间相关性的深入捕捉,超越了现有的多光谱图像重建和去噪方法,对多光谱图像的处理具有实用性和有效性。(4)提出一种基于可交换几何代数的彩色图像稀疏表示模型。首先,提出了一种新的可交换几何代数理论,包括可交换稀疏基及其几何运算。其次,基于可交换几何代数理论,该模型将三通道彩色图像表示为可交换几何代数多矢量,并在可交换几何代数空间中保留空间信息和光谱信息,并基于可交换几何代数提出了一种新的字典学习算法。实验结果表明,所提出的基于可交换几何代数的彩色图像稀疏表示模型可以去除数据冗余,降低算法的时间复杂度,同时可以有效地保留原有的颜色结构。(5)提出一种基于几何代数的多通道信号L1范数最小化问题。讨论了在压缩传感理论中起重要作用的L1范数最小化问题。现有的方法都是针对低维信号设计的,为了解决多通道信号L1范数最小化问题提出了一种基于几何代数的优化算法,通过将其转换为二阶锥规划,来解决有噪声和无噪声的多通道信号L1范数最小化问题。将多通道信号表示为一个几何代数多矢量的形式,在不丢失多通道信号不同通道间相关性的前提下,对其进行整体处理。通过数值实验验证了该算法的有效性和对噪声的鲁棒性。