【摘 要】
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在使用隐式多步方法求解经典常微分方程的过程中,由于方程中非线性项的存在,使得每一步计算都需要求解一个非线性方程组,这导致较高的计算成本.为了避免求解非线性方程组,就提出了线性隐式多步法（Limm法）:在使用隐式多步法的情况下对非线性项进行线性逼近,这样就不需要在每一步的计算中求解非线性方程组,即Limm方法保持了隐式方法的较好稳定性,又提高了计算效率.经过稳定性分析与数值实验的验证,可知经典Lim
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在使用隐式多步方法求解经典常微分方程的过程中,由于方程中非线性项的存在,使得每一步计算都需要求解一个非线性方程组,这导致较高的计算成本.为了避免求解非线性方程组,就提出了线性隐式多步法（Limm法）:在使用隐式多步法的情况下对非线性项进行线性逼近,这样就不需要在每一步的计算中求解非线性方程组,即Limm方法保持了隐式方法的较好稳定性,又提高了计算效率.经过稳定性分析与数值实验的验证,可知经典Limm方法的稳定性要优于经典预估—校正算法.本文的目的就是将求解经典常微分方程初值问题的Limm方法推广到分数阶情况,从而发展出一种对分数阶常微分方程来说既可以保持较好稳定性,又可以快速计算的数值算法.对于方程Dtαy（t）=f（t,y（t））,处理的思路是由卷积求积法离散方程左端的Caputo导数,使用Limm线性化方法离散方程右端非线性项.卷积求积法（CQ方法）可以用来离散卷积类型的积分,但不能直接离散Caputo导数.使用这种方法先离散Riemann-Liouville积分,从而离散Riemann-Liouville导数.再由Riemann-Liouville导数与Caputo导数的关系可得Caputo导数的BDF—CQ离散.最后结合经典Limm线性化方法,得到分数阶BDF—Limm法.在稳定性方面,推广的分数阶Limm方法（BDF—Limm法）比分数阶预估—校正算法（APQ算法）更好.在时间成本方面,本文比较了不同步长下分数阶BDF—Limm法与分数阶梯形公式的计算时间.最后,在第四章引入实际问题——Caputo导数意义下的粘液瘤病毒传播的数学模型.首先在理论上证明该模型的解的非负性,解的存在性、唯一性.其次,本文将对比BDF—Limm法和APQ方法求解该模型的数值结果,证明分数阶BDF—Limm法的有效性.
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