Steiner对称化及平面上经Steiner对称化保持直径的凸集

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在众多的对称化工具中,Steiner对称化无疑是既简单却又最有用的一个。尽管Jakob Steiner提出Steiner对称化的初衷在于解决等周不等式问题,其作用却马上扩展到其它领域,比如经典几何与分析的一些定理证明就需要用到Steiner对称化这一工具。本文首先介绍了平面上Steiner对称化的定义与性质,同时简单回顾了等径不等式与等周不等式。低维的不等式证明可利用微积分和一些简单的技巧,但是一旦将问题推广到高维则往往会有一些处理上的困难,此时Steiner对称化将发挥强大的作用。接着我提出问题:平面上的凸集要具备哪些性质才能保证沿各个方向的Steiner对称化都保持直径不变?文中通过对保持直径不变的情况进行讨论进而分别构造出三个具有代表性的凸集,但是具备该性质的凸集的一般刻画仍需作进一步讨论。本文最后还介绍了一些Steiner对称化的其他应用,由此也可以粗略看到Steiner对称化的价值。
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