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连通图G的Smith群和临界群均是图G的精细不变量,分别与图G的邻接矩阵和拉普拉斯矩阵密切相关.无符号连通图G和符号连通图r的Smith群的定义是相同的,均是将其邻接矩阵A(G)和A(Γ)看作Zn→Zn的映射,那么它们的余核cokke A(G)=Zn/A(G)Zn和cokerA(Γ)=Zn/A(Γ)Zn分别是无符号连通图G和符号连通图r的Smith群.也就是说,无符号连通图G和符号连通图r的Smith群的不变因子分解可以由其邻接矩阵的Smith标准型给出.设无符号连通图G有n个顶点,那么图G的拉普拉斯矩阵为L(G)=D(G)-A(G),其中D(G)=diag(d1,d2,…,dn)是图G的度矩阵,A(G)是图G的邻接矩阵.类似地可定义符号连通图r的拉普拉斯矩阵L(r).将无符号连通图G的拉普拉斯矩阵L(G)看作Zn→Zn的映射,它的余核cokkerL(G)=Zn/L(G)Zn≌ Z(?)K(G),其中K(G)是图G的临界群,它是一个有限阿贝尔群,并且K(G)的阶数等于无符号连通图G的生成树数目.对于符号连通图r而言,将它的拉普拉斯矩阵L(r)看作Zn→Zn的映射,它的余核cokkerL(Γ)=zn/L(r)Zn是图r的临界群.在这篇论文中,我们主要研究了符号格点图SRn,极大Smith符号图S14,S16和T2n,以及T2n的底图C2n(1,n-1)的Smith群和临界群.第一章介绍了本文的研究背景,给出了无符号连通图G和符号连通图r的Smith群和临界群的基本概念,以及一些有用的引理.论文的第二章分别用初等行列整变换和找初等因子及其阶数的方法研究了符号格点图SRn,极大Smith符号图S14,S16和T2n的Smith群和临界群.论文的第三章主要研究了T2n的底图C2n(1,n-1)的Smith群和临界群.通过直接对其邻接矩阵进行初等行列整变换,可以得到C2n(1,n-1)的Smith群的直和分解.再用矩阵树定理的推论得到C2n(1,n-1)的生成树数目,即其临界群的阶数,最后通过对其临界群的生成元的关系矩阵进行初等行列整变换,得到C2n(1,n-1)的临界群的直和分解.在第四章,我们首先对全文进行总结,并且为了展示本文的前瞻性和可发展性,我们给出了几个未来可能的研究方向.