小波分析的理论研究是小波分析的实际应用的强大支撑,由于实际应用的要求和数学学科本身的发展,人们根据需要构造出不同的小波.然而在实际应用过程中,我们发现对于2尺度小波,除了 Haar小波以外,其他的单小波不会同时具有正交性、对称性、紧支撑性等良好性质.但是研究小波的突破点就是研究小波的正交性、对称性、紧支撑性等性质.由于单小波存在这方面的不足,人们已经引入了多小波的概念并且在多尺度函数和多小波方面投入大量的研究工作.多小波相对于之前的标量小波具有较多的优越性,它能够将由一个尺度函数生成的多尺度空间扩展成由多个尺度函数生成的空间,由此可以得到更大的自由度.这样不仅保持了单小波所具备的良好的时频域的局部化特性还可以同时具有正交性、紧支撑性和对称性等性质.有关小波与多小波理论的研究不断地出现新的结果,使之获得了更广泛的应用.杨守志教授首先引出了双向加细函数和双向小波的概念,并且在一维的基础上研究说明了双向加细函数的正负面具的相关情况,给出了两尺度双向加强方程L2稳定解能生成一个MRA所需要的条件,并对两尺度双向加强方程所确定的双向加细函数的支撑区间进行了充足地讨论以及给出了正交双向加细函数和对应的正交双向小波的定义.基于局部紧的阿贝尔群上建立多分辨分析又是小波理论的基本概念之一.目前已有学者描绘了在局部紧的阿贝尔群上建立小波分析,首例基于康托尔二元群上构造正交小波的描绘已经呈现出来,并且其上具有良好的多重分形结构.本文阐述了有关小波分析的发展历程以及学者对于单小波、多小波和双向小波等方面所作的研究工作,随后介绍了基于阿贝尔群上的小波分析理论相应的研究工作,详细介绍了阿贝尔群上的相关概念和必要的记号说明以及阿贝尔群上的傅里叶变换以及沃尔什变换,提出了基于阿贝尔群上建立多分辨分析结构及其满足的性质特征.本文着重给出了基于阿贝尔群上的双向加细方程定义,讨论了双向加细方程有解的情况并给出相应的定理,并在此基础上给出了双向加细方程分布解能够生成一个双向多分辨分析所需要的条件.最后,将双向多分辨分析推广到二维阿贝尔群上,进一步丰富了群上的小波理论.