本文研究了两个非线性的偏微分方程:带延迟的Degasperis-Procesi方程和电导-电阻对称的神经元模型。它们都是研究物理现象和生物现象的重要数学模型。在本文中,我们主要利用几何奇异摄动和不变流形的理论、相图分析、爆破技术等工具证明了这两个方程孤波解的存在性。第二章我们给出了本文中需要用到的一些分析工具:Fenichel的奇异扰动理论、Melnikov方法、交换引理以及爆破技术。在第三章,我们考虑不可压缩欧拉方程的一个近似方程Degasperis-Procesi方程。首先,我们给出了原始的Degasperis-Procesi方程孤波解的存在性。然后,我们利用几何奇异摄动理论和不变流形理论证明了带有特殊局部时滞卷积核和特殊非局部时滞卷积核的方程孤立波解的存在性。根据孤波与同宿轨道的关系,利用行波变换将Degasperis-Procesi方程转化为慢-快方程组。通过使用两次几何奇异摄动的理论证明了扰动后的方程存在唯一的同宿轨道,它对应于时滞Degasperis-Procesi方程的一个孤立波解。在第四章,我们考虑最近提出来的一个与Hodgkin-Huxley方程相似的电导-电阻对称的神经元模型（Neuron Model with Conductance-Resistance Symmetry）,简称CRSN模型。该模型是由邓波教授在2019年提出的。他假设电导的模型和电阻的模型可以看作同一个模型,由此推导出的神经元满足的数学模型。据我所知,这个模型和它的约化模型目前还没有人研究过,我们是第一个。在本章中,我们将在邓波教授的基础上考虑在动作电位（Action Potential）产生时CRSN模型的一个2维的约化模型。首先,我们先给出动作电位产生时的电导-电阻对称的神经元模型的推导过程。接着,由于该系统不是经典的快慢系统,它在不同的区域时间尺度不同,所以我们使用相图分析的办法证明该模型存在孤波解。最后,在不同的区域利用几何奇异摄动理论、交换引理和爆破技术得到了该孤波解的极限轨道。最后一章,我们总结了本文的主要结果,并提出可以进一步研究的问题。