消防员问题(Firefighter Problem)是由著名计算机理论学家Hartnell在第25届组合数学与计算大会上提出的.设G是一个有n个顶点的连通图，k是正整数.假设火在图G的某一点v处燃起，消防员选择k个未着火的顶点进行保护（一旦某个顶点被保护，则在整个过程中都将处于被保护状态），然后火蔓延到v的未加保护且没着火的邻点.依次下去，火和消防员交替地在图G上移动，直到火不能继续蔓延，整个过程结束，消防员的任务是使最后获救的点数最多.消防员问题是一个离散的动态传播模型，与疫情控制，谣言传播，森林防火等实际问题密切相关.　　存活数snk（v）表示当火在v处燃起时k个消防员最多能保护的顶点数.当火随机地在图G的一个顶点燃起时，k个消防员最多能保护的顶点数的平均值称为图G的存活率，记为ρk(G)，即ρk(G)=∑v∈v(G) snk（v）/n2.　　图的存活率是研究图的结构和图的防火能力的一个重要参数，它是由Cai和Wang首次提出的.Wang等人运用概率方法证明了:给定正整数七，对任意正数ε，几乎所有图的k-存活率都小于ε.因此，研究存活率大于某个常数的图类具有十分重要的意义.给定一个图G，如果存在常数c，使得ρk(G)≥c＞0，则称图G为k-好的.Kong等人以及Esperet等人分别独立证明了平面图是4-好的，并且Esperet等人进一步猜想平面图是2-好的.　　本文主要研究了几类重要图类的存活率，全文共分6章.第二章和第三章主要围绕Esperet猜想展开，第四章和第五章分别研究平面定向图和1-平面图的存活率，最后一章研究了一类平面图的边存活率.　　在第一章，我们先给出与本文有关的一些概念和符号，简述了相关领域的研究背景和研究现状，同时也给出了本文的主要研究结果和证明方法.　　在第二章，我们研究了平面图G的3-存活率，证明了:若G是一个平面图，则存在一个常数c使得ρ3(G)＞c，其中c=1/54019981，即平面图是3-好的，改进了已有的结果.　　在第三章，我们研究了不含6-圈平面图的2-存活率，证明了:如果G是不含6-圈的非平凡平面图，则ρ2(G)＞1/85，即不含6-圈平面图是2-好的，部分解决了Esperet猜想.　　在第四章，我们探讨了有向图的存活率，证明了:如果→G是一个平面定向图，那么ρ2（→G）＞1/40;如果→G是一个不含4-圈平面定向图，那么ρ（→G）＞1/51.　　在第五章，我们主要研究了1-平面图的存活率，证明了:如果G是1-平面图，那么ρ6(G)＞1/163，即1-平面图是6-好的.　　在第六章，我们主要研究了不含4-圈平面图的边存活率，证明了:如果G是最小度至少为3的不含4-圈平面图，那么ρ(G，e;(4，2))＞7/705.