数论主要研究整数的性质，是最重要的数学分支之一.它的一个重要的特点是：在其漫长的发展历史中，人们始终以一些著名问题为中心来探索各种可能的研究方法.本文主要研究了加拿大数学家R.K.盖伊的名著《数论中未解决的问题》中提出的某些问题，并得到了一些结果. 本文主要研究了关于Euler数的一个猜想.如果定义展开式secx=∞∑n=0En(ix)n/n!中的系数En为Euler数.它是在许多数论和组合问题中提出来的一类重要的数，它和Bernoulli数之间有着密切的联系，从而也与Riemann-zeta函数ζ(s)、正则素数以及Fermat大定理等著名的数学问题有着重要的联系.对于Euler数有如下有趣的猜想：对于任何素数p≡1(mod4)，E(p-1)/2()0(modp).根据Euler数自身的性质以及Fourier级数对于Gauss和的应用，得到了引理2.3，进而得到推论2.1，从而最终完成了这个猜想的证明.此外，在本文中作者还初步研究了Finucane对于函数ψ(n)+1(其中ψ(n)指Eulerψ函数)作迭代后提出的几个问题.对于给定的素数p，还设计了一个算法来求出使得迭代终止于p的序列.并且对于这一序列的性质进行了一些有意义的探讨.